Mostre que:
9 t^2+6 t-5 inlang<= t^2+t-1, t^2+2 t, t^2+trang<= em P5(R).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o polinômio
9t^2+6t-5
está no subespaço de P5(R) gerado por
t^2+t-1, t^2+2t, t^2+t
O conteúdo usado será o de combinação linear de vetores (aqui polinômios) e o princípio de igualdade de coeficientes.

Passo 2

Considere uma combinação linear genérica dos geradores:
alpha,(t^2+t-1);+;beta,(t^2+2t);+;gamma,(t^2+t)
Vamos ajustar alpha,beta,gamma para que isso seja igual a 9t^2+6t-5.

Passo 3

Expandindo e agrupando termos de mesma potência de t, obtemos
(alpha+beta+gamma),t^2;+;(alpha+2beta+gamma),t;-;alpha

Passo 4

Igualando aos coeficientes de 9t^2+6t-5, surge o sistema
alpha + beta + gamma = 9
alpha + 2beta + gamma = 6
-alpha = -5

Passo 5

Da terceira equação vem alpha=5. Substituindo em
alpha+beta+gamma=9 temos 5+beta+gamma=9, logo
beta+gamma=4.
Em alpha+2beta+gamma=6 fica 5+2beta+gamma=6, logo
2beta+gamma=1.
Subtraindo as duas linhas achamos beta=-3 e daí gamma=4-(-3)=7.

Passo 6

Portanto
9t^2+6t-5 =5,(t^2+t-1);-;3,(t^2+2t);+;7,(t^2+t),
mostrando explicitamente que está na combinação linear desejada.

Resposta

9t^2+6t-5 =5,(t^2+t-1);-;3,(t^2+2t);+;7,(t^2+t),
logo 9t^2+6t-5inlang<= t^2+t-1,;t^2+2t,;t^2+trang<=.

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