Dadas as matrizes diagonais:
A=[lll 2 & 0 & 0 0 & 7 & 0 0 & 0 & 3 ] e B=[lll 4 & 0 & 0 0 & 5 & 0 0 & 0 & 6 ]
calcular AB e classificar esse produto.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes diagonais A e B em R^3times3 e pede o produto AB e sua classificação. O conteúdo aqui é multiplicação de matrizes, lembrando que, para matrizes diagonais, o produto também é diagonal e comuta.

Passo 2

Para matrizes diagonais, o produto C=AB tem elementos
cii=aii,bii,
e cij=0 se ineq j. Logo,
AB = 2cdot4 & 0 & 0 0 & 7cdot5 & 0 0 & 0 & 3cdot6 = 8 & 0 & 0 0 & 35 & 0 0 & 0 & 18

Passo 3

A matriz AB é diagonal, com entradas não nulas na diagonal principal. Isso implica que ela é invertível (determinante 8cdot35cdot18neq0), é simétrica (já que é igual à sua transposta) e comuta com A e B.

Resposta

AB= 8 & 0 & 0 0 & 35 & 0 0 & 0 & 18
O produto é uma matriz diagonal (invertível e simétrica).

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