Mostre que:
(2,4,-1,3) inlang<=(1,1,0,0),(0,-2,1,5),(0,0,0,2)rang<= em R^4.

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que o vetor (2,4,-1,3) pode ser escrito como combinação linear dos vetores
u = (1,1,0,0), v = (0,-2,1,5), w = (0,0,0,2)
em R^4. O conteúdo aqui é entender span (gerador): um vetor está em lang<= u,v,wrang<= se existem escalares a,b,c tais que
a,u + b,v + c,w = (2,4,-1,3)

Passo 2

Escrevemos a combinação linear genérica e igualamos coordenadas:
a,(1,1,0,0) ;+; b,(0,-2,1,5);+; c,(0,0,0,2) ;=;(2,4,-1,3)

Passo 3

Equivalendo coordenada a coordenada obtemos o sistema
1ª coord:&a = 2, 2ª coord:&a ;-;2b = 4, 3ª coord:&b = -1, 4ª coord:&5b ;+;2c = 3 ªªªª

Passo 4

Resolvendo em ordem:
Da 1ª equação vem a=2.
Da 3ª equação vem b=-1.
Substituindo b=-1 na 4ª equação:
5(-1) + 2c = 3 Longrightarrow -5 + 2c = 3 Longrightarrow 2c = 8 Longrightarrow c = 4
Verifica-se também que na 2ª equação, a-2b = 2 - 2(-1) = 2 + 2 = 4, coerente.

Resposta

(2,4,-1,3) ;=;2,(1,1,0,0);-;1,(0,-2,1,5);+;4,(0,0,0,2),
logo (2,4,-1,3)inlang<=(1,1,0,0),(0,-2,1,5),(0,0,0,2)rang<=.

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