Encontre uma única matriz que efetua a sucessão de operações indicadas: A compressão de fator meio na direção de seguida da expansão de fator 5 na direção .
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma matriz que realiza duas operações: primeiro, uma compressão com fator na direção , e depois, uma expansão com fator na direção . Para isso, vamos usar o conceito de matrizes de escala, que são usadas para realizar escalonamentos nas direções específicas.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a matriz que realiza a compressão de fator na direção . A matriz de escala para compressão na direção é dada por:
Aqui, o elemento 12 na posição (1,1) indica que estamos escalando o eixo x por 12, enquanto o 1 na posição (2,2) mantém o eixo y inalterado.
Passo 3
Em seguida, vamos definir a matriz que realiza a expansão de fator 5 na direção y. A matriz de escala para expansão na direção y é dada por:
B = 1 & 0 0 & 5
Aqui, o 5 na posição (2,2) indica que estamos escalando o eixo y por 5, enquanto o 1 na posição (1,1) mantém o eixo x inalterado.
Passo 4
Para realizar as duas operações em sequência, multiplicamos as matrizes correspondentes na ordem das operações. Primeiro aplicamos A, depois B, então a matriz resultante C é:
C = B times A = 1 & 0 0 & 5 12 & 0 0 & 1
Passo 5
Vamos realizar a multiplicação das matrizes:
C = 1 times 12 + 0 times 0 & 1 times 0 + 0 times 1 0 times 12 + 5 times 0 & 0 times 0 + 5 times 1 = 12 & 0 0 & 5
Resposta
A matriz que realiza a compressão de fator 12 na direção x seguida da expansão de fator 5 na direção y é: