Encontre uma única matriz 2 times 2 que efetua a sucessão de operações indicadas: A compressão de fator meio na direção de x seguida da expansão de fator 5 na direção y.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma matriz 2 times 2 que realiza duas operações: primeiro, uma compressão com fator 12 na direção x, e depois, uma expansão com fator 5 na direção y. Para isso, vamos usar o conceito de matrizes de escala, que são usadas para realizar escalonamentos nas direções específicas.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a matriz que realiza a compressão de fator 12 na direção x. A matriz de escala para compressão na direção x é dada por:
A = 12 & 0 0 & 1
Aqui, o elemento 12 na posição (1,1) indica que estamos escalando o eixo x por 12, enquanto o 1 na posição (2,2) mantém o eixo y inalterado.

Passo 3

Em seguida, vamos definir a matriz que realiza a expansão de fator 5 na direção y. A matriz de escala para expansão na direção y é dada por:
B = 1 & 0 0 & 5
Aqui, o 5 na posição (2,2) indica que estamos escalando o eixo y por 5, enquanto o 1 na posição (1,1) mantém o eixo x inalterado.

Passo 4

Para realizar as duas operações em sequência, multiplicamos as matrizes correspondentes na ordem das operações. Primeiro aplicamos A, depois B, então a matriz resultante C é:
C = B times A = 1 & 0 0 & 5 12 & 0 0 & 1

Passo 5

Vamos realizar a multiplicação das matrizes:
C = 1 times 12 + 0 times 0 & 1 times 0 + 0 times 1 0 times 12 + 5 times 0 & 0 times 0 + 5 times 1 = 12 & 0 0 & 5

Resposta

A matriz que realiza a compressão de fator 12 na direção x seguida da expansão de fator 5 na direção y é:
12 & 0 0 & 5

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