Seja a matriz A dada por:
A=(ccc 2 & 3 & 1 4 & -2 & 5 6 & 0 & -1 )
Verifique as propriedades dos determinantes em relação à matriz transposta aplicando as seguintes verificações:
  1. Calcule o determinante de A, det(A).
  2. Explique a relação entre det(A) e det(A^T) com base nas propriedades de matrizes e determinantes.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = 2 & 3 & 1 4 & -2 & 5 6 & 0 & -1
e pede:
1) Calcular det(A).
2) Explicar a relação entre det(A) e detl(A^Tr).
O conteúdo envolvido é cálculo de determinante por cofactores (ou regra de Sarrus) e a propriedade de que o determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta.

Passo 2

Para calcular det(A) podemos usar a expansão por cofactores na primeira linha:
det(A) = a11(a22a33-a23a32) - a12(a21a33-a23a31) + a13(a21a32-a22a31)

Passo 3

Substituindo os elementos de A:
det(A) = 2l((-2)cdot(-1)-5cdot0r) - 3l(4cdot(-1)-5cdot6r) + 1l(4cdot0 - (-2)cdot6r)
Calculando cada termo:
2,(2-0);=;4, -3,(-4-30);=;-3,(-34)=102, 1,(0+12);=;12
Portanto
det(A)=4 + 102 + 12 = 118

Passo 4

Uma propriedade fundamental dos determinantes afirma que, para toda matriz quadrada A, vale
detl(A^Tr) ;=;det(A)
Isso ocorre porque, na definição via permutações, transpor a matriz apenas troca índices de linhas por índices de colunas sem alterar o valor do somatório.

Resposta

det(A)=118 detl(A^Tr)=118, logo detl(A^Tr)=det(A).

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