Dada a matriz [rrr2 & 1 & 3 -3 & 4 & 1 4 & -4 & 5] calcule
Com o resultado da letra c), determine a matriz inversa de A, ou seja, A^-1.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = 2 & 1 & 3 -3 & 4 & 1 4 & -4 & 5
e pede para determinar A^-1. Para isso, vamos usar a definição de inversa pela adjunta (matriz adjunta) e determinante, ou seja,
A^-1 = 1det(A),adj(A)
Precisamos então de dois ingredientes: o determinante de A e a matriz adjunta, que é a transposta da matriz de cofatores.

Passo 2

Calcular det(A) expandindo pela primeira linha:
det(A) = 2cdotdet4 & 1-4 & 5 - 1cdotdet-3 & 14 & 5 + 3cdotdet-3 & 44 & -4
Agora cada menor:
det4 & 1-4 & 5 =4cdot5 - 1cdot(-4)=20+4=24,
det-3 & 14 & 5 =-3cdot5 - 1cdot4=-15-4=-19,
det-3 & 44 & -4 =-3cdot(-4) - 4cdot4=12-16=-4
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det(A)=2cdot24 -1cdot(-19) +3cdot(-4) =48 +19 -12 =55

Passo 3

Construir a matriz de cofatores C. O cofator Cij é dado por (-1)^i+j vezes o determinante do menor que elimina linha i e coluna j. Calculando todos:
C = -24 & -19 & -4 -17 & -2 & -12 -11 & -11 & -11

Passo 4

A matriz adjunta é a transposta de C:
adj(A) = C^T = 24 & -17 & -11 19 & -2 & -11 -4 & 12 & 11

Passo 5

Finalmente, pela definição
A^-1 = 1det(A),adj(A) = 155 24 & -17 & -11 19 & -2 & -11 -4 & 12 & 11

Resposta

A^-1 = 155 24 & -17 & -11 19 & -2 & -11 -4 & 12 & 11

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