Determinação da inversa de uma matriz Nos Exercícios 7-30, encontre a inversa da matriz (se existir).
[rrr0,1 & 0,2 & 0,3 -0,3 & 0,2 & 0,2 0,5 & 0,5 & 0,5]

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
A = 0,1 & 0,2 & 0,3 -0,3 & 0,2 & 0,2 0,5 & 0,5 & 0,5
O conteúdo é inversão de matriz 3times3, e vamos usar o método de Gauss-Jordan. Para facilitar, primeiro eliminamos as vírgulas convertendo para frações ou escalando para uma matriz inteira.

Passo 2

Observando que
0,1 = tfrac110, 0,2=tfrac210, 0,3=tfrac310, -0,3=-tfrac310, 0,5=tfrac12,
definimos B = 10A. Assim
B = 1 & 2 & 3 -3 & 2 & 2 5 & 5 & 5 , e A^-1 = 10,B^-1
Agora vamos achar B^-1 por Gauss-Jordan em [Bmid I].

Passo 3

Escrevendo o sistema aumentado
l[Bmid Ir] = 1 & 2 & 3 &mid& 1 & 0 & 0 -3 & 2 & 2 &mid& 0 & 1 & 0 5 & 5 & 5 &mid& 0 & 0 & 1 ,
eliminamos abaixo de a11:
R2 R2+3R1 e R3 R3-5R1, obtendo
1 & 2 & 3 &mid& 1 & 0 & 0 0 & 8 & 11 &mid& 3 & 1 & 0 0 & -5 & -10 &mid& -5 & 0 & 1

Passo 4

Pivot em a22:
R2 tfrac18R2 ;Longrightarrow; 0 & 1 & tfrac118 &mid& tfrac38 & tfrac18 & 0
Eliminamos as outras entradas na coluna 2:
R1 R1-2R2, R3 R3+5R2
Fica
1 & 0 & tfrac14 &mid& tfrac14 & -tfrac14 & 0 0 & 1 & tfrac118 &mid& tfrac38 & tfrac18 & 0 0 & 0 & -tfrac258 &mid& -tfrac258 & tfrac58 & 1

Passo 5

Pivot em a33=-tfrac258:
R3 -tfrac825R3 ;Longrightarrow; 0 & 0 & 1 &mid& 1 & -tfrac15 & -tfrac825
Agora eliminamos as entradas acima em coluna 3:
R2 R2-tfrac118R3, R1 R1-tfrac14R3
O resultado é
l[Bmid Ir] ;longrightarrow; 1 & 0 & 0 &mid& 0 & -tfrac15 & tfrac225 0 & 1 & 0 &mid& -1 & tfrac25 & tfrac1125 0 & 0 & 1 &mid& 1 & -tfrac15 & -tfrac825
Logo
B^-1 = 0 & -tfrac15 & tfrac225 -1 & tfrac25 & tfrac1125 1 & -tfrac15 & -tfrac825

Passo 6

Voltando a A^-1=10,B^-1, multiplicamos cada entrada por 10:
A^-1 = 0 & -2 & tfrac45 -10 & 4 & tfrac225 10 & -2 & -tfrac165

Resposta

A^-1 = 0 & -2 & tfrac45 -10 & 4 & tfrac225 10 & -2 & -tfrac165

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