Dada a matriz A=[ccc5 & 0 & 1 1 & 4 & -1 2 & -2 & 1], considere V=Nul(A) e W=Col(A):
(a) Determine de V é o R^3, um plano, uma reta ou contém apenas o vetor nulo:

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A= 5 & 0 & 1 1 & 4 & -1 2 & -2 & 1 ,
e pede para classificar V=Nul(A) em R^3: se é todo o espaço, um plano, uma reta ou só o vetor nulo. O conteúdo é teoria de subespaços, posto e nulidade, usando o Teorema do Posto–Nulidade.

Passo 2

Para saber a dimensão de V vamos calcular det(A). Se det(A)neq0, então Nul(A)=0; se det(A)=0, o posto de A é menor que 3.
det(A) =54 & -1-2 & 1 -0cdotcdots +11 & 42 & -2 =5(4cdot1-(-1)(-2))+(1cdot(-2-8)) =5(4-2)-10 =10-10 =0
Logo, A é singular e rank(A)<3.

Passo 3

Fazendo eliminação de linhas para achar o posto e a nulidade:
5 & 0 & 1 1 & 4 & -1 2 & -2 & 1 longrightarrow 5 & 0 & 1 0 & 4 & -tfrac65 0 & -2 & tfrac35
Em seguida,
R3to R3+tfrac12R2 Longrightarrow 5 & 0 & 1 0 & 4 & -tfrac65 0 & 0 & 0
Há duas linhas pivô, logo rank(A)=2.

Passo 4

Pelo Teorema do Posto–Nulidade em R^3:
diml(Nul(A)r)=3-rank(A)=3-2=1
Isso significa que V é um subespaço unidimensional de R^3, ou seja, uma reta que passa pela origem.

Passo 5

Para completar, encontramos um vetor gerador de Nul(A). Das equações escalonadas:
5x+z=0, 4y-tfrac65z=0
Daí z=-5x e y=tfrac620z=tfrac310z=-tfrac32x. Tomando x=t,
(x,y,z)=t,(1,,-tfrac32,,-5) =t,(2,,-3,,-10)
Logo
V=Nul(A)=,t(2,-3,-10)mid tinR,
confirmando que é uma reta.

Resposta

V é uma reta em R^3.

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