Determine, se possível, uma equação geral do plano determinado pelas retas r e s, nos casos a seguir:
r:(x, y, z)=(1,0,2)+h(-2,2,-3), h in R, e s:(x, y, z)=(1,1,-1)+t(2,-1,0), t in R.

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano que contém as retas
r:,(x,y,z) = (1,0,2) + h(-2,2,-3),;hinR
e
s:,(x,y,z) = (1,1,-1) + t(2,-1,0),;tinR
O conteúdo é geometria analítica em R^3: para achar o plano determinado por duas retas não paralelas, precisamos
1) obter vetores diretores de r e s,
2) encontrar um ponto comum (se existir),
3) calcular o vetor normal do plano como produto vetorial desses vetores diretores,
4) usar a forma ponto-normal do plano.

Passo 2

Extraímos os vetores diretores de cada reta:
vr = (-2,,2,,-3), vs = (2,,-1,,0)
Como vr e vs não são proporcionais, as retas não são paralelas e podem determinar um plano se se cruzarem.

Passo 3

Para verificar a interseção, igualamos as coordenadas de r e s:
(1 - 2h,,2h,,2 - 3h) = (1 + 2t,,1 - t,,-1)
Das duas primeiras coordenadas:
1 - 2h = 1 + 2t;Rightarrow;t = -h, 2h = 1 - t = 1 + h;Rightarrow;h = 1,;t = -1
Na terceira coordenada:
2 - 3cdot1 = -1,
confirma-se que as retas se cruzam no ponto
P = (-1,,2,,-1)

Passo 4

O vetor normal n do plano é o produto vetorial
n = vr times vs = i & j & k [-6pt] -2 & 2 & -3 [-3pt] 2 & -1 & 0 = (-3,,-6,,-2)
Podemos simplificar mudando o sinal e usar n = (3,6,2).]

Passo 5

Usamos a forma ponto-normal do plano:
ncdotl((x,y,z)-Pr)=0 Longrightarrow; (3,6,2)cdotl(x+1,;y-2,;z+1r)=0
Expandindo:
3(x+1)+6(y-2)+2(z+1)=0 ;Longrightarrow; 3x+6y+2z-7=0

Resposta

A equação geral do plano é
3x + 6y + 2z - 7 = 0

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