Seja A=p1, p2, p3, p4, p5, sendo p1(x)=x^2-2, p2(x)=-x^2+x+2, p3(x)=3 x+1, p4(x)=x^2+7 x e p5(x)=2 x^2-5 x-6.
Qual é a dimensão de >=r(A) ?

Passo 1

O enunciado nos dá cinco polinômios em , o espaço dos polinômios de grau até 2, e pede a dimensão de , o subespaço gerado por
.
Para resolver, vamos representá-los como vetores de coeficientes em e determinar a quantidade máxima de vetores linearmente independentes.

Passo 2

Associamos a cada pi(x)=ai x^2+bi x+ci o vetor (ai,bi,ci). Logo:
p1mapsto(1,0,-2),
p2mapsto(-1,1,2),
p3mapsto(0,3,1),
p4mapsto(1,7,0),
p5mapsto(2,-5,-6).

Passo 3

Verificamos inicialmente se (1,0,-2) e (-1,1,2) são independentes. Não há escalar lambda tal que
(1,0,-2)=lambda,(-1,1,2),
pois isso exigiria lambda=-1 na primeira componente e lambda=0 na segunda, contradição. Logo, p1,p2 é LI.

Passo 4

Testamos se p3 está no span de p1,p2. Suponha
alpha(1,0,-2)+beta(-1,1,2)=(0,3,1)
Das componentes temos alpha-beta=0, beta=3 e -2alpha+2beta=1. Das duas primeiras vem alpha=beta=3, mas então -2cdot3+2cdot3=0neq1. Logo p3 não é combinação de p1,p2, aumentando a dimensão do gerador para 3.

Passo 5

O espaço P2 tem dimensão dim(P2)=3. Não podemos ter mais que 3 vetores LI em R^3, então ao encontrar três independentes, qualquer polinômio adicional fica no span desses três.

Resposta

3

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