Seja
, sendo
,
e
.
Qual é a dimensão de
?
Qual é a dimensão de
Passo 1
O enunciado nos dá cinco polinômios em
, o espaço dos polinômios de grau até 2, e pede a dimensão de , o subespaço gerado por
.
Para resolver, vamos representá-los como vetores de coeficientes em e determinar a quantidade máxima de vetores linearmente independentes.
Para resolver, vamos representá-los como vetores de coeficientes em
Passo 2
Associamos a cada
o vetor
. Logo:
,
,
,
,
.
Passo 3
Verificamos inicialmente se
e
são independentes. Não há escalar
tal que
pois isso exigiria
na primeira componente e
na segunda, contradição. Logo,
é LI.
Passo 4
Testamos se
está no span de
. Suponha
Das componentes temos
,
e
. Das duas primeiras vem
, mas então
. Logo
não é combinação de
, aumentando a dimensão do gerador para 3.
Passo 5
O espaço
tem dimensão
. Não podemos ter mais que 3 vetores LI em
, então ao encontrar três independentes, qualquer polinômio adicional fica no span desses três.