Seja A=p1, p2, p3, p4, p5, sendo p1(x)=x^2-2, p2(x)=-x^2+x+2, p3(x)=3 x+1, p4(x)=x^2+7 x e p5(x)=2 x^2-5 x-6.
p5 in >=rp1, p2, p3, p4 ?

Passo 1

O enunciado nos dá cinco polinômios em P2:
;p1(x)=x^2-2,;p2(x)=-x^2+x+2,;p3(x)=3x+1,;p4(x)=x^2+7x,;p5(x)=2x^2-5x-6.
Queremos saber se existe combinação linear
p5=a,p1+b,p2+c,p3+d,p4
para alguns escalares a,b,c,d.

Passo 2

Escrevemos cada pi como vetor de coeficientes na base x^2,x,1:
p1mapsto(1,0,-2), p2mapsto(-1,1,2), p3mapsto(0,3,1), p4mapsto(1,7,0), p5mapsto(2,-5,-6)
A combinação linear vira
a(1,0,-2)+b(-1,1,2)+c(0,3,1)+d(1,7,0)=(2,-5,-6)

Passo 3

Igualando coordenada a coordenada obtemos o sistema
a - b + d = 2, b + 3c +7d = -5, -2a +2b + c = -6

Passo 4

Da primeira equação segue a=2+b-d. Substituindo em
-2a+2b+c=-6 e em b+3c+7d=-5, chega-se a
c=-2-2d, b=1-d
Como há solução livre ( d é parâmetro), basta escolher, por exemplo, d=0. Então
a=3,;b=1,;c=-2,;d=0
é uma solução.

Resposta

Sim. Por exemplo,
p5=3,p1+1,p2-2,p3+0,p4,
logo p5in>=rp1,p2,p3,p4.

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