Determinar a equação geral dos planos nos seguintes casos:
passa pelos pontos A(2,1,5), B(-3,-1,3) e C(4,2,3);

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano que passa pelos pontos A(2,1,5), B(-3,-1,3) e C(4,2,3).
Para isso, vamos usar a forma
ncdot(r-r0)=0,
onde n é um vetor normal ao plano obtido pelo produto vetorial de dois vetores diretores do plano, e r0 é a posição de um ponto conhecido (por exemplo A).

Passo 2

Calcular os vetores diretores do plano a partir de A:
AB = B - A = (-3-2,;-1-1,;3-5) = (-5,,-2,,-2),
AC = C - A = (4-2,;2-1,;3-5) = (2,;1,,-2)

Passo 3

Determinar o vetor normal n = ABtimesAC via determinante:
n = i & j & k -5 & -2 & -2 2 & 1 & -2 = l((-2)(-2)-(-2)cdot1,;-l((-5)(-2)-(-2)cdot2r),;(-5)cdot1-(-2)cdot2r)
n = (4+2,;-(10+4),;-5+4) = (6,,-14,,-1)

Passo 4

Usando n=(6,-14,-1) e o ponto A(2,1,5) na forma ncdot(r-A)=0, temos
6(x-2)-14(y-1)-1(z-5)=0
Expandindo:
6x-12-14y+14-z+5=0 Longrightarrow 6x-14y - z + 7 = 0

Resposta

A equação geral do plano é
6x -14y - z + 7 = 0

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