Dada a matriz de coeficientes,
A=\left[\begin{array}{ccc} x & 5 & 2 \\\\ 9 & 11 & 1 \\\\ 7 & x & 17 \end{array}\right]
(a) Quais valores inteiros e positivos que x pode assumir para que a matriz seja diagonal estritamente dominante?
(b) Existe algum valor para x de forma que seja comprovada a convergência de Jacobi e não seja comprovada a convergência de Gauss-Seidel? Justifique com um exemplo.
(c) Existe algum valor para x de forma que seja comprovada a convergência de GaussSeidel e não seja comprovada a convergência de Jacobi? Justifique com um exemplo.

Passo 1

O enunciado dá a matriz de coeficientes
A=\begin{pmatrix} x & 5 & 2\\[4pt] 9 & 11 & 1\\[4pt] 7 & x & 17 \end{pmatrix}
e pede três coisas:
  1. (a) Determinar os valores inteiros e positivos de x para os quais a matriz é diagonal estritamente dominante.
  2. (b) Verificar se existe algum valor de x tal que a convergência do método de Jacobi seja comprovada (por algum critério padrão) enquanto a de Gauss–Seidel não seja comprovada; justificar com um exemplo.
  3. (c) Verificar se existe algum valor de x tal que a convergência de Gauss–Seidel seja comprovada (por algum critério padrão) enquanto a de Jacobi não seja comprovada; justificar com um exemplo.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A matriz A acima (elementos explícitos dependem de x).
  • O domínio de x que nos importa: valores inteiros e positivos (pelo item (a)).
  • Não há outras restrições explícitas.]

Passo 2

Definição e entendimento do que é “diagonal estritamente dominante” (aula rápida, sem pular etapas):
  • Uma matriz quadrada A=(a_{ij}) é dita diagonal estritamente dominante por linhas se, para toda linha i,
|a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}|.
  • Aqui |a_{ii}| é o valor absoluto do elemento da diagonal na linha i; e a soma do lado direito é a soma dos valores absolutos dos demais elementos da mesma linha.
  • A condição é “estrita” por causa do sinal > (não permite igualdade). Essa condição é um critério suficiente (mas não necessário) para garantir a convergência dos métodos iterativos de Jacobi e de Gauss–Seidel.
Agora aplicamos a definição à nossa matriz, linha a linha, escrevendo explicitamente cada desigualdade (sem pular contas).
Linha 1: elemento diagonal a_{11}=x. Soma dos demais elementos na linha 1: |5|+|2|=7. A condição é
|x|>7.
Como o enunciado pede x inteiro e positivo, isso é simplesmente
x>7.
Linha 2: elemento diagonal a_{22}=11. Soma dos demais elementos: |9|+|1|=10. A condição é
11>10,
o que já é verdade (não depende de x).
Linha 3: elemento diagonal a_{33}=17. Soma dos demais: |7|+|x|=7+|x|. A condição é
17>7+|x|.
Como consideramos x positivo, |x|=x, então
17>7+x \quad\Longrightarrow\quad x<10.
Juntando as desigualdades obtidas para linhas 1 e 3 (linha 2 já é satisfeita):
x>7 \quad\text{e}\quad x<10.
Como x deve ser inteiro e positivo, os valores possíveis são
x\in\{8,9\}.

Passo 3

Interpretação didática do resultado do item (a) e conexão com convergência de métodos iterativos:
  • Regra prática que vamos usar: se a matriz é diagonal estritamente dominante por linhas, isso é um critério suficiente para garantir a convergência tanto do método de Jacobi quanto do método de Gauss–Seidel (para qualquer vetor de termos constantes e qualquer aproximação inicial).
  • Conclusão imediata: para x=8 ou x=9 a matriz é diagonal estritamente dominante e, portanto, ambos os métodos (Jacobi e Gauss–Seidel) têm sua convergência garantida por esse critério.

Passo 4

Resposta ao item (b) — posso provar convergência de Jacobi mas não a de Gauss–Seidel?
  • Observação sobre critérios de prova padrão que usamos em provas/questões: o mais simples e comum é o critério de diagonal estrita por linhas (visto no passo 2). Esse mesmo critério é suficiente para ambos os métodos. Assim, se usarmos esse critério como forma de “comprovar” convergência, não existe x para o qual eu posso provar (via esse critério) que Jacobi converge e, ao mesmo tempo, não conseguir provar (via esse mesmo critério) que Gauss–Seidel converge — porque a condição seria a mesma para os dois.
  • Portanto, se a “comprovação” que você aceita é a via do critério padrão (diagonal estrita), a resposta é: não existe tal x.
  • Para deixar claro com um exemplo: escolha x=8. Pelo passo 2 vimos que a matriz é diagonal estritamente dominante; portanto a convergência de Jacobi é comprovada e a de Gauss–Seidel também é comprovada. Logo não há exemplo (dentro do uso desse critério) que favoreça Jacobi mas não GS.

Passo 5

Preparação para o item (c): outro critério útil — Critério de Sassenfeld (aula rápida)
  • O critério de Sassenfeld dá uma condição suficiente (não necessária) para a convergência do método de Gauss–Seidel. Ele é particularmente útil porque, em muitos casos, permite provar convergência de Gauss–Seidel mesmo quando a matriz não é diagonal estritamente dominante.
  • Formulação do critério (modo algoritmico): definimos números \beta_1,\beta_2,\beta_3 (no nosso caso de 3\times3) recursivamente:
\beta_1=\frac{1}{|a_{11}|}\sum_{j=2}^3|a_{1j}|,
\beta_2=\frac{1}{|a_{22}|}\big(|a_{21}|\beta_1+\sum_{j=3}^3|a_{2j}|\big),
\beta_3=\frac{1}{|a_{33}|}\big(|a_{31}|\beta_1+|a_{32}|\beta_2\big).
  • Se \max(\beta_1,\beta_2,\beta_3)<1, então o método de Gauss–Seidel converge para a solução, para qualquer aproximação inicial.
  • Nota importante (didática): Sassenfeld é só uma condição suficiente para GS; não diz nada direto sobre Jacobi. Em particular, podemos ter Sassenfeld satisfeita enquanto a matriz não é diagonal estritamente dominante — nesse caso Gauss–Seidel fica comprovado pela Sassenfeld, mas Jacobi pode não estar comprovado pelo critério de diagonal estrita.

Passo 6

Aplicação do critério de Sassenfeld para encontrar um exemplo que responde (c)
  • Vamos calcular as \beta_i em função de um valor candidato de x. Lembremos da matriz:
A=\begin{pmatrix} x & 5 & 2\\[4pt] 9 & 11 & 1\\[4pt] 7 & x & 17 \end{pmatrix}.
Cálculo simbólico das betas:
\beta_1=\frac{7}{x}.
\beta_2=\frac{9\beta_1+1}{11}=\frac{9\cdot(7/x)+1}{11}=\frac{63/x+1}{11}.
\beta_3=\frac{7\beta_1+x\beta_2}{17}=\frac{7\cdot(7/x)+x\cdot\frac{63/x+1}{11}}{17}.
Agora escolhemos um x para testar. Queremos que Sassenfeld dê \max\beta_i<1, mas que a diagonal estrita falhe (assim Jacobi não fica comprovado por diagonal estrita).
Tente x=10 (um candidato natural logo acima de 9, onde a linha 3 ficando exatamente limite):
  • \beta_1=\dfrac{7}{10}=0,7.
  • \beta_2=\dfrac{63/10+1}{11}=\dfrac{6{,}3+1}{11}=\dfrac{7{,}3}{11}\approx0{,}663636.
  • \beta_3=\dfrac{7\cdot0{,}7+10\cdot0{,}663636}{17}=\dfrac{4{,}9+6{,}63636}{17}=\dfrac{11{,}53636}{17}\approx0{,}678609.
Assim \max(\beta_1,\beta_2,\beta_3)\approx0{,}7<1. Pelo critério de Sassenfeld, para x=10 a convergência de Gauss–Seidel está comprovada.]

Passo 7

Verificação de que, para o mesmo x=10, a convergência de Jacobi NÃO é comprovada pelo critério de diagonal estrita
  • Relembrando a desigualdade da linha 3 para diagonal estrita: precisamos de 17>7+x.
  • Para x=10 temos 17>7+10 que é 17>17, o que é falso (é igualdade). Portanto a matriz NÃO é diagonal estritamente dominante quando x=10.
  • Como o critério de diagonal estrita é o critério padrão que usamos para “comprovar” a convergência de Jacobi em exercícios básicos, concluímos que, para x=10, a convergência de Jacobi não está comprovada por esse critério (pode ou não convergir na prática, mas não é garantida pelo critério simples).

Passo 8

Conclusões finais (resumo curto e motivador)
  • (a) Resolvido: os únicos inteiros positivos x que tornam A diagonal estritamente dominante são 8 e 9.
  • (b) Não existe x tal que eu prove a convergência de Jacobi pelo critério de diagonal estrita e não prove a de Gauss–Seidel, porque o mesmo critério garante ambos — exemplo ilustrativo: para x=8 ambos são comprovados.
  • (c) Sim: existe x tal que Gauss–Seidel é comprovado (por Sassenfeld) enquanto Jacobi não é comprovado pelo critério de diagonal estrita; exemplo: x=10 (Sassenfeld dá \max\beta_i\approx0{,}7<1 garantindo GS, enquanto a diagonal estrita falha na linha 3).

Resposta

(a) x=8,\;9
(b) Não. Ex.: x=8 — diagonal estrita garante convergência de Jacobi e de Gauss–Seidel.
(c) Sim. Ex.: x=10 — critério de Sassenfeld dá convergência de Gauss–Seidel ( \max\beta_i\approx0{,}7<1), enquanto a diagonal estrita falha (logo Jacobi não é comprovado por esse critério).

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