(a) Encontre as matrizes triangulares L e U, de forma que todos os elementos da diagonal principal de L sejam 1 e L U=A. (Decomposição de Doolittle)
(b) Encontre as matrizes triangulares L e U, de forma que os elementos da diagonal principal de U sejam iguais a 1 e L U=A. (Decomposição de Crout)
(c) Encontre a solução do sistema utilizando as matrizes encontradas com a decomposição de Crout.
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear com três equações e três incógnitas e pede três coisas: (a) encontrar L e U pela decomposição de Doolittle (diagonal de L com todos os elementos iguais a 1); (b) encontrar L e U pela decomposição de Crout (diagonal de U com todos os elementos iguais a 1); (c) resolver o sistema usando a decomposição de Crout obtida. As informações dadas no enunciado são as equações
Não se pede pivoteamento, então vamos assumir que a decomposição direta é possível sem permutações. A partir daqui vamos calcular passo a passo primeiro Doolittle, depois Crout, e em seguida usar Crout para resolver o sistema.]
Passo 2
Breve explicação do que é a decomposição A=LU nas duas convenções pedidas (didática curta e direta, para você aplicar na prova):
- Na decomposição de Doolittle definimos
ou seja, diagonal de L é toda de 1. As entradas são obtidas resolvendo LU=A elemento a elemento, usando que a primeira linha de U é a primeira linha de A e que os \ell's são quocientes de entradas de A por pivotes já calculados.
- Na decomposição de Crout definimos
ou seja, diagonal de U é toda de 1. As entradas são obtidas também a partir de LU=A, preenchendo coluna a coluna para L e linha a linha para U. Na prova, escolha o esquema que pedem (Doolittle ou Crout) e calcule sistematicamente seguindo esses padrões.]
Passo 3
Começando a decomposição de Doolittle: escrevo as fórmulas e calculo cada elemento. Igualando LU=A e usando a estrutura de Doolittle, as primeiras relações diretas são
Novamente, você pode checar que LU=A multiplicando (verificação).]
Passo 11
Agora vamos usar a decomposição de Crout para resolver Ax=b. Como A=LU, primeiro resolvemos Ly=b por substituição direta (forward substitution), depois resolvemos Ux=y por retro-substituição (back substitution). Escrevo y=(y_{1},y_{2},y_{3})^{T}.
Passo 12
Resolvendo Ly=b\). As equações vindas de \(Ly=b\) (usando o \(L\) de Crout calculado no Passo 10) são:
\[\begin{cases} 1\cdot y_{1}=0,\\[4pt] 0\cdot y_{1}+12\cdot y_{2}=4,\\[4pt] 2\cdot y_{1}+(-1)\cdot y_{2}+\tfrac{35}{12}\cdot y_{3}=5. \end{cases}