Dado o sistema linear abaixo,
\left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}-x_{3}=0 \\\\ 12 x_{2}-x_{3}=4 \\\\ 2 x_{1}+x_{2}+x_{3}=5 \end{array}\right.
(a) Encontre as matrizes triangulares L e U, de forma que todos os elementos da diagonal principal de L sejam 1 e L U=A. (Decomposição de Doolittle)
(b) Encontre as matrizes triangulares L e U, de forma que os elementos da diagonal principal de U sejam iguais a 1 e L U=A. (Decomposição de Crout)
(c) Encontre a solução do sistema utilizando as matrizes encontradas com a decomposição de Crout.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear com três equações e três incógnitas e pede três coisas: (a) encontrar L e U pela decomposição de Doolittle (diagonal de L com todos os elementos iguais a 1); (b) encontrar L e U pela decomposição de Crout (diagonal de U com todos os elementos iguais a 1); (c) resolver o sistema usando a decomposição de Crout obtida. As informações dadas no enunciado são as equações
\left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}-x_{3}=0,\\[4pt] 12 x_{2}-x_{3}=4,\\[4pt] 2 x_{1}+x_{2}+x_{3}=5, \end{array}\right.
que correspondem à matriz dos coeficientes A e ao vetor independente b:
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\[2pt] 0 & 12 & -1\\[2pt] 2 & 1 & 1 \end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}0\\[2pt]4\\[2pt]5\end{pmatrix}.
Não se pede pivoteamento, então vamos assumir que a decomposição direta é possível sem permutações. A partir daqui vamos calcular passo a passo primeiro Doolittle, depois Crout, e em seguida usar Crout para resolver o sistema.]

Passo 2

Breve explicação do que é a decomposição A=LU nas duas convenções pedidas (didática curta e direta, para você aplicar na prova):
- Na decomposição de Doolittle definimos
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[2pt] \ell_{21} & 1 & 0\\[2pt] \ell_{31} & \ell_{32} & 1 \end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13}\\[2pt] 0 & u_{22} & u_{23}\\[2pt] 0 & 0 & u_{33} \end{pmatrix},
ou seja, diagonal de L é toda de 1. As entradas são obtidas resolvendo LU=A elemento a elemento, usando que a primeira linha de U é a primeira linha de A e que os \ell's são quocientes de entradas de A por pivotes já calculados.
- Na decomposição de Crout definimos
L=\begin{pmatrix} \ell_{11} & 0 & 0\\[2pt] \ell_{21} & \ell_{22} & 0\\[2pt] \ell_{31} & \ell_{32} & \ell_{33} \end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix} 1 & u_{12} & u_{13}\\[2pt] 0 & 1 & u_{23}\\[2pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},
ou seja, diagonal de U é toda de 1. As entradas são obtidas também a partir de LU=A, preenchendo coluna a coluna para L e linha a linha para U. Na prova, escolha o esquema que pedem (Doolittle ou Crout) e calcule sistematicamente seguindo esses padrões.]

Passo 3

Começando a decomposição de Doolittle: escrevo as fórmulas e calculo cada elemento. Igualando LU=A e usando a estrutura de Doolittle, as primeiras relações diretas são
u_{11}=a_{11},\quad u_{12}=a_{12},\quad u_{13}=a_{13},
\ell_{21}=\frac{a_{21}}{u_{11}},\quad \ell_{31}=\frac{a_{31}}{u_{11}}.
Substituo os valores de A (peguei-os do enunciado: primeira linha (1,1,-1), segunda linha (0,12,-1), terceira (2,1,1)):
u_{11}=1,\quad u_{12}=1,\quad u_{13}=-1,
\ell_{21}=\frac{0}{1}=0,\quad \ell_{31}=\frac{2}{1}=2.

Passo 4

Continuando Doolittle: agora calculamos os elementos da segunda linha/coluna superiores:
u_{22}=a_{22}-\ell_{21}u_{12},\qquad u_{23}=a_{23}-\ell_{21}u_{13}.
Substituindo os valores já conhecidos:
u_{22}=12-0\cdot 1=12,\qquad u_{23}=-1-0\cdot(-1)=-1.

Passo 5

Ainda em Doolittle, calculamos \ell_{32} e u_{33}. As fórmulas são
\ell_{32}=\frac{a_{32}-\ell_{31}u_{12}}{u_{22}},\qquad u_{33}=a_{33}-\ell_{31}u_{13}-\ell_{32}u_{23}.
Substituindo:
\ell_{32}=\frac{1-2\cdot 1}{12}=\frac{-1}{12}=-\tfrac{1}{12},
u_{33}=1-2\cdot(-1)-\Big(-\tfrac{1}{12}\Big)\cdot(-1)=1+2-\tfrac{1}{12}=3-\tfrac{1}{12}=\tfrac{35}{12}.

Passo 6

Escrevo as matrizes L e U obtidas na decomposição de Doolittle (todas as entradas foram calculadas nos passos anteriores):
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[2pt] 0 & 1 & 0\\[2pt] 2 & -\tfrac{1}{12} & 1 \end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\[2pt] 0 & 12 & -1\\[2pt] 0 & 0 & \tfrac{35}{12} \end{pmatrix}.
Você pode verificar multiplicando LU que volta para A (opcional na prova, mas boa prática).]

Passo 7

Agora faço a decomposição de Crout. Relembrando: na convenção de Crout a diagonal de U é toda 1. As fórmulas iniciais são
\ell_{11}=a_{11},\quad u_{12}=\frac{a_{12}}{\ell_{11}},\quad u_{13}=\frac{a_{13}}{\ell_{11}},
\ell_{21}=a_{21},\quad \ell_{31}=a_{31}.
Substituindo os elementos de A (novamente peguei esses dados do enunciado):
\ell_{11}=1,\quad u_{12}=1,\quad u_{13}=-1,
\ell_{21}=0,\quad \ell_{31}=2.

Passo 8

Continuando Crout: calcular \ell_{22} e u_{23} com as fórmulas
\ell_{22}=a_{22}-\ell_{21}u_{12},\qquad u_{23}=\frac{a_{23}-\ell_{21}u_{13}}{\ell_{22}}.
Substituindo:
\ell_{22}=12-0\cdot 1=12,\qquad u_{23}=\frac{-1-0\cdot(-1)}{12}=-\tfrac{1}{12}.

Passo 9

Ainda em Crout, calculamos \ell_{32} e \ell_{33} pelas fórmulas
\ell_{32}=a_{32}-\ell_{31}u_{12},\qquad \ell_{33}=a_{33}-\ell_{31}u_{13}-\ell_{32}u_{23}.
Substituindo os valores conhecidos:
\ell_{32}=1-2\cdot 1=-1,
\ell_{33}=1-2\cdot(-1)-(-1)\cdot\Big(-\tfrac{1}{12}\Big)=1+2-\tfrac{1}{12}=3-\tfrac{1}{12}=\tfrac{35}{12}.

Passo 10

Escrevo as matrizes L e U obtidas na decomposição de Crout:
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[2pt] 0 & 12 & 0\\[2pt] 2 & -1 & \tfrac{35}{12} \end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\[2pt] 0 & 1 & -\tfrac{1}{12}\\[2pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Novamente, você pode checar que LU=A multiplicando (verificação).]

Passo 11

Agora vamos usar a decomposição de Crout para resolver Ax=b. Como A=LU, primeiro resolvemos Ly=b por substituição direta (forward substitution), depois resolvemos Ux=y por retro-substituição (back substitution). Escrevo y=(y_{1},y_{2},y_{3})^{T}.

Passo 12

Resolvendo Ly=b\). As equações vindas de \(Ly=b\) (usando o \(L\) de Crout calculado no Passo 10) são: \[\begin{cases} 1\cdot y_{1}=0,\\[4pt] 0\cdot y_{1}+12\cdot y_{2}=4,\\[4pt] 2\cdot y_{1}+(-1)\cdot y_{2}+\tfrac{35}{12}\cdot y_{3}=5. \end{cases}
Da primeira equação vem
y_{1}=0.
Da segunda,
12y_{2}=4\quad\Rightarrow\quad y_{2}=\tfrac{4}{12}=\tfrac{1}{3}.
Substituo y_{1}\] e \(y_{2} na terceira:
2\cdot 0+(-1)\cdot \tfrac{1}{3}+\tfrac{35}{12}y_{3}=5.
Isso dá
-\tfrac{1}{3}+\tfrac{35}{12}y_{3}=5\quad\Rightarrow\quad \tfrac{35}{12}y_{3}=5+\tfrac{1}{3}=\tfrac{16}{3}.
Logo
y_{3}=\tfrac{16}{3}\cdot\tfrac{12}{35}=\tfrac{192}{105}=\tfrac{64}{35}.]

Passo 13

Agora resolvo Ux=y com U da Crout. As equações de Ux=y são (linha a linha):
\begin{cases} x_{1}+1\cdot x_{2}-1\cdot x_{3}=y_{1}=0,\\[4pt] x_{2}-\tfrac{1}{12}x_{3}=y_{2}=\tfrac{1}{3},\\[4pt] x_{3}=y_{3}=\tfrac{64}{35}. \end{cases}
Da terceira equação já obtém-se
x_{3}=\tfrac{64}{35}.
Da segunda,
x_{2}=\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{12}x_{3}=\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{12}\cdot\tfrac{64}{35}.
Calculo a fração:
\tfrac{1}{12}\cdot\tfrac{64}{35}=\tfrac{64}{420}=\tfrac{16}{105},
\tfrac{1}{3}=\tfrac{35}{105}\quad\Rightarrow\quad x_{2}=\tfrac{35}{105}+\tfrac{16}{105}=\tfrac{51}{105}=\tfrac{17}{35}.
Da primeira equação
x_{1}=x_{3}-x_{2}=\tfrac{64}{35}-\tfrac{17}{35}=\tfrac{47}{35}.]

Resposta

(a) L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[2pt] 0 & 1 & 0\\[2pt] 2 & -\tfrac{1}{12} & 1 \end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\[2pt] 0 & 12 & -1\\[2pt] 0 & 0 & \tfrac{35}{12} \end{pmatrix}
(b) L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[2pt] 0 & 12 & 0\\[2pt] 2 & -1 & \tfrac{35}{12} \end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\[2pt] 0 & 1 & -\tfrac{1}{12}\\[2pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
(c) x=\begin{pmatrix}\tfrac{47}{35}\\[4pt]\tfrac{17}{35}\\[4pt]\tfrac{64}{35}\end{pmatrix}]

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