\text{(b) Resolver }A x = b,\quad\text{onde }b=\begin{pmatrix}-2\\[4pt]14\\[4pt]12\end{pmatrix}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{A matriz fornecida está em "notação compacta" de LU: as entradas abaixo da diagonal são }L\text{ (com 1 na diagonal) e as entradas na diagonal e acima são }U.áçããã]
Passo 2
Vou explicitar a interpretação da “notação compacta” e separar L e U. Em compacta, assume-se que L é unitária (diagonal com 1) e seus elementos abaixo da diagonal são os elementos correspondentes da matriz dada; a parte diagonal e acima forma U.
Explicação breve do que isso significa: a fatoração A=LU quer dizer que multiplicando essa L por essa U obtemos a matriz A original. Em provas, ao ver “compacta”, sempre separe assim: parte inferior (sem a diagonal) → L (com 1s na diagonal); parte superior (com a diagonal) → U.]
Passo 3
Para certificar e também para sabermos a matriz A explícita (útil para conferir solução), calculamos A=L U. A multiplicação é feita linha por coluna; eu vou calcular elementos linha a linha:
Primeira linha de A:
\text{linha 1} = 1\cdot(\text{linha 1 de }U) \Rightarrow (2,\,-\tfrac{1}{2},\,0).
Segunda linha de A:
\text{linha 2} = 4\cdot(\text{linha 1 de }U) + 1\cdot(\text{linha 2 de }U).
Calculando componente a componente:
A_{21}=4\cdot 2 + 0 = 8,
A_{22}=4\cdot(-\tfrac{1}{2}) + 1 = -2+1 = -1,
A_{23}=4\cdot 0 + 2 = 2.
Logo a segunda linha é (8,\,-1,\,2).
Terceira linha de A:
\text{linha 3} = (-6)\cdot(\text{linha 1 de }U) + (-1)\cdot(\text{linha 2 de }U) + 1\cdot(\text{linha 3 de }U).
Agora calculamos \det(A) usando a fatoração A=LU. Propriedade importante e muito útil: \det(A)=\det(L)\det(U).
Para matrizes triangulares, o determinante é o produto dos elementos da diagonal.
Para L unitária (diagonal com 1s), \det(L)=1.
Para U triangular superior, \det(U)= produto dos elementos da diagonal de U.
As diagonais de U são 2,\;1,\;2. Logo
\det(U)=2\cdot 1\cdot 2 = 4.
Assim
\det(A)=\det(L)\det(U)=1\cdot 4 = 4.
Passo 5
Para resolver A x = b usamos a fatoração A=LU. Escrevemos
LUx=b.
Definimos y=Ux. Então primeiro resolvemos
L y = b
por substituição direta (forward substitution), e depois resolveremos
U x = y
por retro-substituição (back substitution).
Explicando o método de forward substitution: como L é triangular inferior com 1s na diagonal, as equações aparecem em ordem que dá para achar y_1 direto, depois y_2 usando y_1, e assim por diante.
Passo 6
Resolvendo L y = b. Escrevo as equações (cada linha de L vezes o vetor y = correspondente entrada de b):