Uma matriz A possui a decomposição LU a seguir (notação compacta),
\left[\begin{array}{ccc} 2 & -1 / 2 & 0 \\\\ 4 & 1 & 2 \\\\ -6 & -1 & 2 \end{array}\right]
(a) Calcule \operatorname{det}(A)
(b) Resolva o sistema linear A x=b, em que b=\left(\begin{array}{lll}-2 & 14 & 12\end{array}\right)^{T}.

Passo 1

O enunciado diz que a matriz A possui a decomposição LU dada, em notação compacta, pela matriz
\begin{pmatrix} 2 & -1/2 & 0\\[4pt] 4 & 1 & 2\\[4pt] -6 & -1 & 2 \end{pmatrix}
e pede duas coisas:
\text{(a) Calcular }\det(A).
\text{(b) Resolver }A x = b,\quad\text{onde }b=\begin{pmatrix}-2\\[4pt]14\\[4pt]12\end{pmatrix}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{A matriz fornecida está em "notação compacta" de LU: as entradas abaixo da diagonal são }L\text{ (com 1 na diagonal) e as entradas na diagonal e acima são }U.áçããã]

Passo 2

Vou explicitar a interpretação da “notação compacta” e separar L e U. Em compacta, assume-se que L é unitária (diagonal com 1) e seus elementos abaixo da diagonal são os elementos correspondentes da matriz dada; a parte diagonal e acima forma U.
Portanto:
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 4 & 1 & 0\\[4pt] -6 & -1 & 1 \end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix} 2 & -\tfrac{1}{2} & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.
Explicação breve do que isso significa: a fatoração A=LU quer dizer que multiplicando essa L por essa U obtemos a matriz A original. Em provas, ao ver “compacta”, sempre separe assim: parte inferior (sem a diagonal) → L (com 1s na diagonal); parte superior (com a diagonal) → U.]

Passo 3

Para certificar e também para sabermos a matriz A explícita (útil para conferir solução), calculamos A=L U. A multiplicação é feita linha por coluna; eu vou calcular elementos linha a linha:
Primeira linha de A:
\text{linha 1} = 1\cdot(\text{linha 1 de }U) \Rightarrow (2,\,-\tfrac{1}{2},\,0).
Segunda linha de A:
\text{linha 2} = 4\cdot(\text{linha 1 de }U) + 1\cdot(\text{linha 2 de }U).
Calculando componente a componente:
A_{21}=4\cdot 2 + 0 = 8,
A_{22}=4\cdot(-\tfrac{1}{2}) + 1 = -2+1 = -1,
A_{23}=4\cdot 0 + 2 = 2.
Logo a segunda linha é (8,\,-1,\,2).
Terceira linha de A:
\text{linha 3} = (-6)\cdot(\text{linha 1 de }U) + (-1)\cdot(\text{linha 2 de }U) + 1\cdot(\text{linha 3 de }U).
Componentes:
A_{31} = -6\cdot 2 + (-1)\cdot 0 + 0 = -12,
A_{32} = -6\cdot(-\tfrac{1}{2}) + (-1)\cdot 1 + 0 = 3 -1 = 2,
A_{33} = -6\cdot 0 + (-1)\cdot 2 + 2 = -2 + 2 = 0.
Terceira linha: (-12,\,2,\,0).
Assim, a matriz A (explicita) é
A=\begin{pmatrix} 2 & -\tfrac{1}{2} & 0\\[4pt] 8 & -1 & 2\\[4pt] -12 & 2 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora calculamos \det(A) usando a fatoração A=LU. Propriedade importante e muito útil: \det(A)=\det(L)\det(U).
  • Para matrizes triangulares, o determinante é o produto dos elementos da diagonal.
  • Para L unitária (diagonal com 1s), \det(L)=1.
  • Para U triangular superior, \det(U)= produto dos elementos da diagonal de U.
As diagonais de U são 2,\;1,\;2. Logo
\det(U)=2\cdot 1\cdot 2 = 4.
Assim
\det(A)=\det(L)\det(U)=1\cdot 4 = 4.

Passo 5

Para resolver A x = b usamos a fatoração A=LU. Escrevemos
LUx=b.
Definimos y=Ux. Então primeiro resolvemos
L y = b
por substituição direta (forward substitution), e depois resolveremos
U x = y
por retro-substituição (back substitution).
Explicando o método de forward substitution: como L é triangular inferior com 1s na diagonal, as equações aparecem em ordem que dá para achar y_1 direto, depois y_2 usando y_1, e assim por diante.

Passo 6

Resolvendo L y = b. Escrevo as equações (cada linha de L vezes o vetor y = correspondente entrada de b):
Primeira linha:
1\cdot y_1 = b_1 \Rightarrow y_1 = -2.
Segunda linha:
4\cdot y_1 + 1\cdot y_2 = b_2 \Rightarrow y_2 = b_2 - 4y_1 = 14 - 4(-2) = 14 + 8 = 22.
Terceira linha:
-6\cdot y_1 + (-1)\cdot y_2 + 1\cdot y_3 = b_3.
Isolando y_3:
y_3 = b_3 +6y_1 + y_2 = 12 + 6(-2) + 22 = 12 -12 +22 = 22.
Portanto o vetor y é
y=\begin{pmatrix}-2\\[4pt]22\\[4pt]22\end{pmatrix}.]

Passo 7

Agora resolvemos U x = y por retro-substituição. Como U é triangular superior, começamos pela última equação (que contém só x_3), depois subimos.
Escrevendo U e as equações:
U=\begin{pmatrix} 2 & -\tfrac{1}{2} & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 2 \end{pmatrix},\qquad Ux=y.
Última equação (linha 3):
2 x_3 = y_3 \Rightarrow x_3 = \frac{y_3}{2} = \frac{22}{2} = 11.
Segunda equação (linha 2):
1\cdot x_2 + 2\cdot x_3 = y_2 \Rightarrow x_2 = y_2 - 2x_3 = 22 - 2\cdot 11 = 22 - 22 = 0.
Primeira equação (linha 1):
2\cdot x_1 - \tfrac{1}{2}\cdot x_2 + 0\cdot x_3 = y_1 \Rightarrow 2x_1 - \tfrac{1}{2}\cdot 0 = -2,
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x_1 = \frac{-2}{2} = -1.
Assim obtemos o vetor solução
x=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]0\\[4pt]11\end{pmatrix}.]

Resposta

(a) \det(A)=4
(b) x=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]0\\[4pt]11\end{pmatrix}]

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