Dada uma matriz A cujas colunas são vetores ortogonais, prove que A é ortogonal.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma matriz AinR^ntimes n cujas colunas são vetores ortogonais (e de norma unitária) em R^n. Precisamos provar que A é ortogonal, ou seja, que
A^T A = In
Para isso vamos usar o fato de que o produto A^T A é a matriz de Gram das colunas de A.

Passo 2

Denotemos por v1,v2,dots,vn as colunas de A. Então podemos escrever
A = l[v1;;v2;;cdots;;vnr]
Por definição de multiplicação de matrizes, o elemento (i,j) de A^T A é dado pelo produto escalar entre a linha i de A^T e a coluna j de A.

Passo 3

Observamos que a linha i de A^T é exatamente vi^T, e a coluna j de A é vj. Portanto
(A^T A)ij ;=; vi^T,vj ;=;lang<= vi, vjrang<=

Passo 4

Como
logo
Isto mostra que (A^T A=I_n], que é justamente a definição de matriz ortogonal.

Resposta

A^T A = In, logo A é ortogonal.

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