Dada uma matriz
cujas colunas são vetores ortogonais, prove que
é ortogonal.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma matriz
cujas colunas são vetores ortogonais (e de norma unitária) em
. Precisamos provar que
é ortogonal, ou seja, que
Para isso vamos usar o fato de que o produto
é a matriz de Gram das colunas de
.
Passo 2
Denotemos por
as colunas de
. Então podemos escrever
Por definição de multiplicação de matrizes, o elemento
de
é dado pelo produto escalar entre a linha
de
e a coluna
de
.
Passo 3
Observamos que a linha
de
é exatamente
, e a coluna
de
é
. Portanto
Passo 4
Como
logo
Isto mostra que (A^T A=I_n], que é justamente a definição de matriz ortogonal.