Seja ( V,lang<=rang<=, ) um espaço euclidiano e sejam T1, T2: V Vç operadores auto-adjuntos. Mostre que, dado alpha in R, T1+alpha T2 é operador auto-adjunto.

Passo 1

O enunciado diz que V é um espaço euclidiano com produto interno lang<=cdot,cdotrang<= e que T1 e T2 são operadores auto-adjuntos em V. Precisamos mostrar que, para qualquer alphainR, o operador
T = T1 + alpha,T2
é também auto-adjunto. Para isso, vamos usar a definição de operador auto-adjunto e explorar a linearidade do produto interno.

Passo 2

Um operador Tcolon Vto V é auto-adjunto se, para todos x,yin V, valer
lang<= T(x),,yrang<= ;=;lang<= x,,T(y)rang<=
Sabemos que T1 e T2 satisfazem
lang<= T1(x),yrang<= = lang<= x,T1(y)rang<= e lang<= T2(x),yrang<= = lang<= x,T2(y)rang<=
para todos x,yin V.

Passo 3

Seja T = T1 + alpha,T2. Então, para quaisquer x,yin V, pela linearidade do produto interno em cada argumento, temos
lang<= T(x),yrang<= = lang<= T1(x) + alpha,T2(x),,yrang<= = lang<= T1(x),yrang<= + alpha,lang<= T2(x),yrang<=
Como T1 e T2 são auto-adjuntos, isso se torna
lang<= x,T1(y)rang<= + alpha,lang<= x,T2(y)rang<= = lang<= x,,T1(y) + alpha,T2(y)rang<= = lang<= x,,T(y)rang<=
Portanto
lang<= T(x),yrang<= = lang<= x,T(y)rang<=
para todos x,yin V, isto é, T é auto-adjunto.

Resposta

T1 + alpha,T2 é operador auto-adjunto.

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