Seja (
,
operadores auto-adjuntos. Mostre que, dado
é operador auto-adjunto.
Passo 1
O enunciado diz que
é um espaço euclidiano com produto interno
e que
e
são operadores auto-adjuntos em
. Precisamos mostrar que, para qualquer
, o operador
é também auto-adjunto. Para isso, vamos usar a definição de operador auto-adjunto e explorar a linearidade do produto interno.
Passo 2
Um operador
é auto-adjunto se, para todos
, valer
Sabemos que
e
satisfazem
para todos
.
Passo 3
Seja
. Então, para quaisquer
, pela linearidade do produto interno em cada argumento, temos
Como
e
são auto-adjuntos, isso se torna
Portanto
para todos
, isto é,
é auto-adjunto.