Sejam V um espaço com produto interno, dim V=n, T: V V uma isometria e W um subespaço invariante sob T, ou seja, T(W) subset W. Mostre que T(W)=W e T(W^perp)=W^perp.

Passo 1

O enunciado nos dá um espaço com produto interno V, de dimensão dim V = n, e um operador linear T:Vto V que é isometria, isto é,
lang<= T(x),T(y)rang<= = lang<= x,yrang<= forall,x,yin V
Além disso, há um subespaço Wsubset V tal que
T(W)subset W
Precisamos mostrar duas coisas:
  1. T(W)=W.
  2. T(W^perp)=W^perp.

Passo 2

Como T é isometria, ele é injetor (se T(x)=0 então |x|=|T(x)|=0 e x=0) e, por viver num espaço de dimensão finita, isso implica que T é bijetor em V. Em particular T tem inversa linear T^-1:Vto V.
Agora, de T(W)subset W segue aplicando T^-1 em ambos os lados:
W = T^-1l(T(W)r)subset T^-1(W)
Mas também Tl(T^-1(W)r)=Wsubset T(W). Juntando
T(W)subset W subset T(W),
chegamos a
T(W)=W

Passo 3

Para mostrar T(W^perp)subset W^perp, pegamos qualquer xin W^perp e win W. Como acabamos de ver T(W)=W, existe w'in W tal que w=T(w'). Então
lang<= T(x),wrang<= =lang<= T(x),T(w')rang<= =lang<= x,w'rang<= =0,
onde usamos a isometria no segundo passo e o fato de xperp w' no último. Como isso vale para todo win W, concluímos
T(x)in W^perp,
ou seja
T(W^perp)subset W^perp

Passo 4

Finalmente, T restringido a W^perp continua sendo injetor e age em espaço de dimensão finita, logo é bijetor de W^perp em si mesmo. Dessa forma, a inclusão anterior força
T(W^perp)=W^perp

Resposta

Mostramos que T(W)=W e T(W^perp)=W^perp.

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