Sejam
um espaço com produto interno,
uma isometria e
um subespaço invariante sob
, ou seja,
. Mostre que
e
.
Passo 1
O enunciado nos dá um espaço com produto interno
, de dimensão
, e um operador linear
que é isometria, isto é,
Além disso, há um subespaço
tal que
Precisamos mostrar duas coisas:
-
. -
.
Passo 2
Como
é isometria, ele é injetor (se
então
e
) e, por viver num espaço de dimensão finita, isso implica que
é bijetor em
. Em particular
tem inversa linear
.
Agora, de segue aplicando
em ambos os lados:
Agora, de
Mas também
. Juntando
chegamos a
Passo 3
Para mostrar
, pegamos qualquer
e
. Como acabamos de ver
, existe
tal que
. Então
onde usamos a isometria no segundo passo e o fato de
no último. Como isso vale para todo
, concluímos
ou seja
Passo 4
Finalmente,
restringido a
continua sendo injetor e age em espaço de dimensão finita, logo é bijetor de
em si mesmo. Dessa forma, a inclusão anterior força
Resposta
Mostramos que
e
.