Sejam V um espaço Euclidiano real de dimensão finita e T: V V um operador auto-adjunto. Mostre que
p(T) é um operador auto-adjunto para todo p(x) in R[x].

Passo 1

O enunciado diz que V é um espaço Euclidiano real de dimensão finita e que Tcolon Vto V é auto-adjunto, ou seja, para todo u,vin V vale
lang<= Tu,vrang<= ;=;lang<= u, Tvrang<=
Queremos mostrar que, para qualquer polinômio real
p(x)=a0+a1x+cdots+anx^ninR[x],
o operador p(T) também é auto-adjunto.

Passo 2

Escrevemos explicitamente
p(T)=a0I + a1T + a2T^2 + cdots + anT^n,
onde I é o operador identidade. Note que p(T) é combinação linear (com coeficientes reais) dos operadores I,T,T^2,dots,T^n.

Passo 3

Usamos as propriedades do adjunto em espaço real:
  1. ,(A+B)^*=A^*+B^*.
  2. ,(cA)^*=c,A^* para cinR.
  3. ,(AB)^*=B^*A^*.
Como T é auto-adjunto, T^*=T. Então, por indução em k,
se (T^k)^*=T^k e T é auto-adjunto, então
(T^k+1)^*=(T^kT)^*=T^* (T^k)^*=T,T^k=T^k+1
No caso base, (T^1)^*=T. Logo, para todo k=1,2,dots,n vale
(T^k)^*=T^k

Passo 4

Aplicando o adjunto em p(T) e usando a linearidade real, temos
p(T)^* =l(a0I + a1T + cdots + anT^nr)^* = a0,I^* + a1,T^* + cdots + an,(T^n)^* = a0I + a1T + cdots + anT^n = p(T)
Portanto lang<= p(T)u,vrang<= = lang<= u,p(T)vrang<= para todo u,v, isto é, p(T) é auto-adjunto.

Resposta

Mostramos que p(T)^*=p(T), logo p(T) é um operador auto-adjunto.

Exercícios relacionados