Sejam
um espaço Euclidiano real de dimensão finita e
um operador auto-adjunto. Mostre que
é um operador auto-adjunto para todo
.
Passo 1
O enunciado diz que
é um espaço Euclidiano real de dimensão finita e que
é auto-adjunto, ou seja, para todo
vale
Queremos mostrar que, para qualquer polinômio real
o operador
também é auto-adjunto.
Passo 2
Escrevemos explicitamente
onde
é o operador identidade. Note que
é combinação linear (com coeficientes reais) dos operadores
.
Passo 3
Usamos as propriedades do adjunto em espaço real:
-
. -
para . -
.
Como
é auto-adjunto,
. Então, por indução em
,
se e
é auto-adjunto, então
se
No caso base,
. Logo, para todo
vale
Passo 4
Aplicando o adjunto em
e usando a linearidade real, temos
Portanto
para todo
, isto é,
é auto-adjunto.
Resposta
Mostramos que
, logo
é um operador auto-adjunto.