Sejam
um espaço Euclidiano e
uma função tal que
, para todo
. Mostre que
é linear, ou seja,
é uma isometria.
Passo 1
O enunciado dá um espaço euclidiano
(com produto interno
e norma
) e uma aplicação
tal que
-
, -
para todo .
Queremos mostrar que
é linear, i.e.
a) para todos
,
b) para todo escalar
.
a)
b)
Para isso usaremos (i) a preservação de distâncias para deduzir preservação de norma e produto interno via identidade de polarização e (ii) mostraremos aditividade e homogeneidade.
Passo 2
Primeiro veja que
preserva normas e produto interno.
- Como
, temos
- A identidade de polarização em
é
Aplicando
e usando que ele preserva distâncias, obtemos
Passo 3
Agora provamos que
é aditiva. Considere o vetor
Calculamos
Como
, ao expandir esse produto interno e agrupar termos (usando
), verifica-se que todos os termos se cancelam, ficando
. Logo
e
Passo 4
Falta mostrar homogeneidade.
- Para
, pela aditividade, . - Para
, note que
implica
. Logo
para todo
.
3. Para , use
3. Para
portanto
.
4. Finalmente, como é isometria, ele é contínuo; para
tome sequência
em
e passe ao limite em
para obter
4. Finalmente, como
para obter
Resposta
ou seja,
é linear (e de fato uma isometria linear).