Sejam V um espaço Euclidiano e T: V V uma função tal que T(0)=0 e|T(v)-T(u)|=|v-u|, para todo u, v in V. Mostre que T é linear, ou seja, T é uma isometria.

Passo 1

O enunciado dá um espaço euclidiano V (com produto interno lang<=cdot,cdotrang<= e norma |cdot|) e uma aplicação T:Vto V tal que
  1. T(0)=0,
  2. |T(v)-T(u)|=|v-u| para todo u,vin V.
Queremos mostrar que T é linear, i.e.
a) T(u+v)=T(u)+T(v) para todos u,v,
b) T(lambda v)=lambda,T(v) para todo escalar lambda.
Para isso usaremos (i) a preservação de distâncias para deduzir preservação de norma e produto interno via identidade de polarização e (ii) mostraremos aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Primeiro veja que T preserva normas e produto interno.
  • Como T(0)=0, temos
|T(v)|=|T(v)-T(0)|=|v-0|=|v|
  • A identidade de polarização em V é
lang<= u,vrang<= = 12l(|u|^2+|v|^2-|u-v|^2r)
Aplicando T e usando que ele preserva distâncias, obtemos
lang<= T(u),T(v)rang<= =tfrac12l(|T(u)|^2+|T(v)|^2-|T(u)-T(v)|^2r) =tfrac12l(|u|^2+|v|^2-|u-v|^2r) =lang<= u,vrang<=

Passo 3

Agora provamos que T é aditiva. Considere o vetor
w = T(u+v)-T(u)-T(v)
Calculamos
|w|^2 =lang<= T(u+v)-T(u)-T(v),,T(u+v)-T(u)-T(v)rang<=
Como lang<= T(x),T(y)rang<==lang<= x,yrang<=, ao expandir esse produto interno e agrupar termos (usando
|u+v|^2=|u|^2+2lang<= u,vrang<=+|v|^2), verifica-se que todos os termos se cancelam, ficando
|w|^2=0. Logo w=0 e
T(u+v)=T(u)+T(v)

Passo 4

Falta mostrar homogeneidade.
  1. Para ninN, pela aditividade, T(nv)=T(v+cdots+v)=n,T(v).
  2. Para n=-1, note que
0=T(0)=T(v+(-v))=T(v)+T(-v)
implica T(-v)=-T(v). Logo T(nv)=n,T(v) para todo ninZ.
3. Para q=tfrac mninQ, use
n,T(qv)=T(n,q,v)=T(m,v)=m,T(v),
portanto T(qv)=q,T(v).
4. Finalmente, como T é isometria, ele é contínuo; para lambdainR tome sequência qktolambda em Q e passe ao limite em
,T(qk v)=qk,T(v)
para obter
T(lambda v)=lambda,T(v)

Resposta

T satisfaz
T(u+v)=T(u)+T(v), T(lambda v)=lambda,T(v),
ou seja, T é linear (e de fato uma isometria linear).

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