Dada a matriz D=\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\\\ 0 & 2\end{array}\right], calcule D^{2}.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
D=\begin{pmatrix}1 & -1 \\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}
e pede para calcular D^{2}. Isto significa multiplicar a matriz D por ela mesma, ou seja D^{2}=D\cdot D.]

Passo 2

Lembrete prático sobre multiplicação de matrizes 2\times2. Se
A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\[4pt] a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}b_{11} & b_{12} \\[4pt] b_{21} & b_{22}\end{pmatrix},
então o produto C=AB é a matriz 2\times2 cujos elementos são dados por soma de produtos de linha por coluna:
c_{11}=a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}, \qquad c_{12}=a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22},
c_{21}=a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}, \qquad c_{22}=a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}.
Essa é a regra que vamos aplicar a D com A=B=D.]

Passo 3

Identifico as entradas de D:
d_{11}=1,\quad d_{12}=-1,\quad d_{21}=0,\quad d_{22}=2.

Passo 4

Calculo o elemento superior esquerdo (1,1):
(D^{2})_{11}=d_{11}d_{11}+d_{12}d_{21}=1\cdot1+(-1)\cdot0=1+0=1.

Passo 5

Calculo o elemento superior direito (1,2):
(D^{2})_{12}=d_{11}d_{12}+d_{12}d_{22}=1\cdot(-1)+(-1)\cdot2=-1-2=-3.

Passo 6

Calculo o elemento inferior esquerdo (2,1):
(D^{2})_{21}=d_{21}d_{11}+d_{22}d_{21}=0\cdot1+2\cdot0=0+0=0.

Passo 7

Calculo o elemento inferior direito (2,2):
(D^{2})_{22}=d_{21}d_{12}+d_{22}d_{22}=0\cdot(-1)+2\cdot2=0+4=4.

Passo 8

Monto a matriz resultado com os elementos calculados:
D^{2}=\begin{pmatrix}1 & -3 \\[4pt] 0 & 4\end{pmatrix}.]

Resposta

\begin{pmatrix}1 & -3 \\[4pt] 0 & 4\end{pmatrix}]

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