Dada a matriz A=(ccc-2 & 1 & 0 0 & -2 & 1 0 & 0 & -2), determinar os autovalores e as multiplicidades algébricos e geométricos deles.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = -2 & 1 & 0 [6pt] 0 & -2 & 1 [6pt] 0 & 0 & -2
e pede os autovalores e suas multiplicidades algébricas e geométricas. O conteúdo principal é que, para matriz triangular, os autovalores são os elementos da diagonal (usamos isso para obter o polinômio característico) e depois calculamos a multiplicidade geométrica encontrando o núcleo de A - lambda I.]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico
det(A - lambda I) = det -2-lambda & 1 & 0 [4pt] 0 & -2-lambda & 1 [4pt] 0 & 0 & -2-lambda =(-2-lambda),(-2-lambda),(-2-lambda) =(-2-lambda)^3
Logo, o único autovalor é lambda=-2, com multiplicidade algébrica 3.]

Passo 3

Para a multiplicidade geométrica de
Resolvendo , com , obtemos
Sobram e sua dimensão (multiplicidade geométrica) é .]

Resposta

O único autovalor é lambda=-2, com multiplicidade algébrica 3 e multiplicidade geométrica 1.

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