Dada a matriz A=(ll1 & 2 2 & 1), determinar se o conjunto de matrizes A, A^2, A^3 LI ou LD (teorema de C.-H.).

Passo 1

O enunciado pede para decidir se o conjunto de matrizes A, A^2, A^3 é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD). O conteúdo principal que vamos usar é o teorema de Cayley–Hamilton, que afirma que toda matriz quadrada satisfaz seu próprio polinômio característico.

Passo 2

Calcular o polinômio característico de
A = 1 & 2 2 & 1
Temos
chiA(lambda) = det(A - lambda I) = det1-lambda & 2 2 & 1-lambda = (1-lambda)^2 - 4 = lambda^2 - 2lambda - 3
Pelo teorema de Cayley–Hamilton,
A^2 - 2A - 3I = 0

Passo 3

Isolar A^2 na relação anterior:
A^2 = 2A + 3I

Passo 4

Multiplicar essa expressão por A para obter A^3:
A^3 = Acdot A^2 = A(2A + 3I) = 2A^2 + 3A
Agora substituir A^2 = 2A+3I:
A^3 = 2(2A + 3I) + 3A = 4A + 6I + 3A = 7A + 6I

Passo 5

Considere a combinação linear nula
alpha A + beta A^2 + gamma A^3 = 0
Substituindo A^2 e A^3 pelas expressões encontradas:
alpha A + beta(2A+3I) + gamma(7A+6I) = (alpha + 2beta + 7gamma),A ;+;(3beta + 6gamma),I = 0

Passo 6

Como
Da segunda equação vem obtemos , ou seja, existe combinação não trivial.

Passo 7

Como encontramos uma combinação não trivial que zera alpha A + beta A^2 + gamma A^3, concluímos que A,A^2,A^3 é linearmente dependente (LD).

Resposta

O conjunto A, A^2, A^3 é linearmente dependente (LD).

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