Dada a matriz , de um operador linear determinar todos os subespaços invariantes desse operador.
Passo 1
O enunciado pede todos os subespaços invariantes do operador cujo representante matricial na base canônica é
A = 1 & a & 0 a & b & 0 0 & 0 & 4
O conteúdo é teoria de subespaços invariantes para operadores lineares, usando que A é block–diagonal entre o plano xy e a reta z.
Passo 2
Observe que
age em (coordenadas ) e o valor próprio age em . Um subespaço é –invariante se, e somente se, puder ser escrito como
onde é –invariante e é invariante pela multiplicação por .
Passo 3
No fator Re3, só há dois subespaços invariantes sob multiplicação por 4:
Vinl0,,spane3r
Passo 4
Em R^2, o polinômio característico de M é
chiM(t)=t^2 - (1+b),t + (b - a^2),
com discriminante
De<a = (1-b)^2 + 4a^2
Isso gera três situações:
(i) Se De<a>0, M tem dois autovalores reais distintos lambda1neqlambda2 com autovetores v1,v2. Então os subespaços M–invariantes em R^2 são
0, spanv1, spanv2, R^2
(ii) Se De<a=0 e Mneqlambda I2, há um único autovalor duplo lambda com apenas uma reta própria spanv. Os subespaços invariantes são
0, spanv, R^2
(iii) Se M=I2 (isto é, a=0 e b=1), todo subespaço de R^2 é M–invariante.
Passo 5
Combinando os dois fatores por soma direta, os subespaços invariantes de A são todos os
W = U oplus V,
onde Vin0,,spane3 e UsubsetR^2 é um subespaço M–invariante listado no passo anterior.
Em particular, nos casos (i) e (ii) surgem, além de 0 e R^3, as retas próprias no plano xy, a reta e3, e as somas diretas dessas retas com e3. No caso (iii) admite-se qualquer subespaço de spane1,e2.
Resposta
Os subespaços invariantes de A são exatamente todos os