Resolver uma problema de autovalores e autovetores A x=lambda x, A=(cc1 & 3 -3 & 2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de autovalores e autovetores. O problema nos dá uma matriz A = 1 & 3 -3 & 2 e pede para encontrarmos os autovalores ( lambda) e os autovetores ( x) que satisfazem a equação A x = lambda x. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como determinantes e solução de sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores ( lambda). Para isso, precisamos resolver a equação característica, que vem de det(A - lambda I) = 0, onde I é a matriz identidade. Vamos montar a matriz A - lambda I:
A - lambda I = 1 - lambda & 3 -3 & 2 - lambda

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(2 - lambda) - (3)(-3)
Vamos multiplicar os termos:
(1 - lambda)(2 - lambda) = 2 - lambda - 2lambda + lambda^2 = lambda^2 - 3lambda + 2
E:
(3)(-3) = -9
Então, o determinante fica:
lambda^2 - 3lambda + 2 - (-9) = lambda^2 - 3lambda + 11

Passo 4

Para encontrar os autovalores, resolvemos a equação quadrática resultante:
lambda^2 - 3lambda + 11 = 0
Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
lambda = 3 pm raiz(-3)^2 - 4 cdot 1 cdot 112 cdot 1 = 3 pm raiz9 - 442 = 3 pm raiz-352
Como o discriminante é negativo ( -35), os autovalores são números complexos:
lambda = 3 pm iraiz352

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Vamos começar com lambda = 3 + iraiz352.
Substituímos lambda na equação (A - lambda I)x = 0:
1 - lambda & 3 -3 & 2 - lambda x1 x2 = 0 0
Isso nos dá o sistema:
(1 - lambda)x1 + 3x2 = 0 -3x1 + (2 - lambda)x2 = 0

Passo 6

Vamos simplificar as equações usando lambda = 3 + iraiz352:
Primeira equação:
1 - 3 + iraiz352 = 2 - 3 - iraiz352 = -1 - iraiz352
Então:
-1 - iraiz352 x1 + 3x2 = 0
Podemos assumir x2 = 1 para facilitar, então:
x1 = 6-1 - iraiz35 = 6(-1 + iraiz35)( -1)^2 + (raiz35)^2 = 6(-1 + iraiz35)1 + 35 = 6(-1 + iraiz35)36 = -1 + iraiz356

Passo 7

Portanto, o primeiro autovetor é:
x = -1 + iraiz356 1
Fazendo um processo semelhante para o outro autovalor lambda = 3 - iraiz352, encontramos:
x = -1 - iraiz356 1

Resposta

Os autovalores da matriz A são lambda = 3 pm iraiz352 e os autovetores correspondentes são:
x = -1 + iraiz356 1 e x = -1 - iraiz356 1

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