Dada a matriz A=(ccc1 & -1 & 0 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1), de um operador linear determinar todos os subespaços invariantes desse operador.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & -1 & 0 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1
de um operador linear em R^3 e pede todos os subespaços WsubseteqR^3 tais que A(W)subseteq W. Vamos usar teoria de autovalores e blocos invariantes para identificar essas subespaços.

Passo 2

Calculemos os autovalores de A. Como A é bloco-diagonal nos 2times 2 primeiros componentes e 1 isolado, o polinômio característico é
det(A-lambda I) =det1-lambda&-1&01&1-lambda&00&0&1-lambda =( (1-lambda)^2+1),(1-lambda)
Logo os autovalores são
lambda1 = 1 + i, lambda2 = 1 - i, lambda3 = 1
Destes, apenas lambda3=1 é real, e o espaço próprio correspondente é
E1 = ker(A - I) =(0,0,z)mid zinR =span(0,0,1)

Passo 3

O bloco 2times 2 correspondente a lambda=1pm i atua no plano
P = spane1,e2
onde e1=(1,0,0) e e2=(0,1,0). Verificamos que
A(e1) = (1,1,0)in P, A(e2) = (-1,1,0)in P,
logo P é invari- ante por A.

Passo 4

Dentro de P, para existir subespaço próprio não trivial (ou seja, linha Lsubset P com A(L)subset L), precisaríamos de vetores reais vneq0 tais que A v = alpha v com alphainR. Mas os únicos autovalores do bloco 2times 2 são complexos não reais, então não há linhas reais invariantes não triviais em P. Assim, os únicos subespaços invariantes dentro de P são 0 e o próprio P.

Passo 5

Reunindo tudo, os subespaços invariantes de A em R^3 são exatamente:
0,
a reta L=span(0,0,1),
o plano P=span(1,0,0),(0,1,0),
e o espaço todo R^3.

Resposta

0,;span(0,0,1),;span(1,0,0),(0,1,0),;R^3

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