Dada a matriz A=(lllla & 1 & 0 & 0 0 & a & 0 & 0 0 & 0 & b & 0 0 & 0 & 0 & b),
determinar os autovalores e as multiplicidades algébricos e geométricos deles.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar os autovalores de uma matriz dada e determinar as multiplicidades algébricas e geométricas de cada autovalor. Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente no estudo de autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar conhecer alguns conceitos básicos sobre matrizes e autovalores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um autovalor. Dada uma matriz quadrada A , um número lambda é chamado de autovalor de A se existir um vetor não nulo v tal que:
A v = lambda v
Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a seguinte equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde det representa o determinante e I é a matriz identidade do mesmo tamanho que A .

Passo 3

Vamos aplicar isso à matriz dada:
A = a & 1 & 0 & 0 0 & a & 0 & 0 0 & 0 & b & 0 0 & 0 & 0 & b
Calculamos A - lambda I :
A - lambda I = a - lambda & 1 & 0 & 0 0 & a - lambda & 0 & 0 0 & 0 & b - lambda & 0 0 & 0 & 0 & b - lambda

Passo 4

Agora, vamos encontrar o determinante de A - lambda I :
det(A - lambda I) = det a - lambda & 1 & 0 & 0 0 & a - lambda & 0 & 0 0 & 0 & b - lambda & 0 0 & 0 & 0 & b - lambda
Como a matriz é triangular (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
det(A - lambda I) = (a - lambda) cdot (a - lambda) cdot (b - lambda) cdot (b - lambda) = (a - lambda)^2 (b - lambda)^2

Passo 5

Para achar os autovalores, resolvemos:
det(A - lambda I) = 0 implies (a - lambda)^2 (b - lambda)^2 = 0
Isso nos dá duas soluções:
lambda1 = a e lambda2 = b

Passo 6

Agora, vamos determinar as multiplicidades algébricas de cada autovalor. A multiplicidade algébrica de um autovalor é o número de vezes que ele aparece como raiz da equação característica.
  • Para lambda1 = a , a multiplicidade algébrica é 2.
  • Para lambda2 = b , a multiplicidade algébrica também é 2.

Passo 7

Em seguida, vamos ver as multiplicidades geométricas. A multiplicidade geométrica de um autovalor é a dimensão do espaço dos autovetores associados a ele, ou seja, o número de vetores linearmente independentes que satisfazem (A - lambda I)v = 0 .
Para matrizes diagonais ou quase diagonais como a nossa, a multiplicidade geométrica de cada autovalor geralmente é igual à sua multiplicidade algébrica, desde que a matriz não tenha elementos acima da diagonal que possam reduzir esse número.
No nosso caso, a matriz A só tem um elemento não-zero fora da diagonal principal em A1,2 = 1 . Isso não afeta a multiplicidade geométrica, pois os autovalores ainda têm espaços de autovetores independentes.
Portanto:
  • A multiplicidade geométrica de lambda1 = a é 2.
  • A multiplicidade geométrica de lambda2 = b é 2.

Resposta

Os autovalores da matriz A são lambda = a e lambda = b . Cada autovalor tem multiplicidade algébrica igual a 2 e multiplicidade geométrica também igual a 2.

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