A soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo vale 720^circ. Sabendo-se que o número de faces vale 23 do número de arestas, determine o número de faces desse poliedro.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre poliedros convexos e nos dá duas informações importantes:
  1. A soma dos ângulos das faces é 720^circ.
  2. O número de faces ( F) é 23 do número de arestas ( E).
Para resolver, vamos precisar usar conceitos de geometria dos poliedros, especificamente a fórmula de Euler que relaciona vértices ( V), arestas ( E) e faces ( F) de um poliedro convexo:
V - E + F = 2

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre o número de faces ( F) e o número de arestas ( E). A questão nos diz que:
F = 23E
Isso significa que podemos expressar F em termos de E.

Passo 3

Agora, precisamos relacionar a soma dos ângulos das faces com o número de arestas ou faces. Para isso, vamos considerar que cada face de um poliedro convexo é um polígono, e a soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é:
Soma dos ângulos = (n - 2) times 180^circ â
No entanto, como não sabemos quantos lados tem cada face, vamos assumir que todas as faces têm o mesmo número de lados, digamos n. Assim, a soma dos ângulos de todas as faces será:
F times (n - 2) times 180^circ = 720^circ

Passo 4

Simplificando a equação acima:
F times (n - 2) times 180 = 720
Dividindo ambos os lados por 180:
F times (n - 2) = 4
Então:
(n - 2) = 4F

Passo 5

Como queremos encontrar o número de faces ( F), precisamos relacionar isso com o número de arestas ( E). Sabemos que:
F = 23E implies E = 32F
Agora, vamos usar a fórmula de Euler:
V - E + F = 2
Mas ainda não sabemos V. Para encontrar uma relação adicional, podemos lembrar que em um poliedro convexo regular (onde todas as faces são iguais e todos os vértices são iguais), a seguinte relação vale:
E = nF2
Substituindo E por 32F:
32F = nF2
Cancelando F e multiplicando ambos os lados por 2:
3 = n
Então, n = 3. Isso significa que cada face é um triângulo.

Passo 6

Agora que sabemos que cada face é um triângulo ( n = 3), podemos voltar à equação que encontramos no Passo 4:
(n - 2) = 4F implies 3 - 2 = 4F implies 1 = 4F
Multiplicando ambos os lados por F:
F = 4

Resposta

O número de faces desse poliedro é 4.

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