A soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo vale
. Sabendo-se que o número de faces vale
do número de arestas, determine o número de faces desse poliedro.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre poliedros convexos e nos dá duas informações importantes:
- A soma dos ângulos das faces é
. - O número de faces (
) é do número de arestas ( ).
Para resolver, vamos precisar usar conceitos de geometria dos poliedros, especificamente a fórmula de Euler que relaciona vértices (
), arestas (
) e faces (
) de um poliedro convexo:
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação entre o número de faces (
) e o número de arestas (
). A questão nos diz que:
Isso significa que podemos expressar
em termos de
.
Passo 3
Agora, precisamos relacionar a soma dos ângulos das faces com o número de arestas ou faces. Para isso, vamos considerar que cada face de um poliedro convexo é um polígono, e a soma dos ângulos internos de um polígono de
lados é:
No entanto, como não sabemos quantos lados tem cada face, vamos assumir que todas as faces têm o mesmo número de lados, digamos
. Assim, a soma dos ângulos de todas as faces será:
Passo 4
Simplificando a equação acima:
Dividindo ambos os lados por 180:
Então:
Passo 5
Como queremos encontrar o número de faces (
), precisamos relacionar isso com o número de arestas (
). Sabemos que:
Agora, vamos usar a fórmula de Euler:
Mas ainda não sabemos
. Para encontrar uma relação adicional, podemos lembrar que em um poliedro convexo regular (onde todas as faces são iguais e todos os vértices são iguais), a seguinte relação vale:
Substituindo
por
:
Cancelando
e multiplicando ambos os lados por 2:
Então,
. Isso significa que cada face é um triângulo.
Passo 6
Agora que sabemos que cada face é um triângulo (
), podemos voltar à equação que encontramos no Passo 4:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
O número de faces desse poliedro é 4.