Um poliedro convexo tem 14 vértices. Em 6 desses vértices concorrem 4 arestas, em 4 desses vértices concorrem 3 arestas e, nos demais vértices, concorrem 5 arestas. Determine o número de faces desse poliedro.
Passo 1
O enunciado descreve um poliedro convexo com
vértices, em que 6 vértices têm valência 4, 4 vértices têm valência 3 e os demais vértices têm valência 5. Para resolver, vamos usar duas ideias principais da teoria de grafos e poliedros:
- A relação entre soma das valências dos vértices e o número de arestas, isto é,
- A fórmula de Euler para poliedros convexos:
onde
é o número de arestas e
é o número de faces.
Passo 2
Primeiro, determinamos quantos vértices têm valência 5. Como há
vértices no total e já contamos
vértices de valência 4 ou 3, sobram
vértices de valência 5. Agora somamos todas as valências:
Pela relação
, temos
Passo 3
Com
e
, aplicamos a fórmula de Euler para obter
:
Resposta
O poliedro tem
faces.