Um poliedro convexo tem 14 vértices. Em 6 desses vértices concorrem 4 arestas, em 4 desses vértices concorrem 3 arestas e, nos demais vértices, concorrem 5 arestas. Determine o número de faces desse poliedro.

Passo 1

O enunciado descreve um poliedro convexo com V=14 vértices, em que 6 vértices têm valência 4, 4 vértices têm valência 3 e os demais vértices têm valência 5. Para resolver, vamos usar duas ideias principais da teoria de grafos e poliedros:
  1. A relação entre soma das valências dos vértices e o número de arestas, isto é,
sumvin Vdeg(v)=2E
  1. A fórmula de Euler para poliedros convexos:
V - E + F = 2,
onde E é o número de arestas e F é o número de faces.

Passo 2

Primeiro, determinamos quantos vértices têm valência 5. Como há 14 vértices no total e já contamos 6+4=10 vértices de valência 4 ou 3, sobram
14 - 10 = 4
vértices de valência 5. Agora somamos todas as valências:
6cdot 4 ;+; 4cdot 3 ;+; 4cdot 5 ;=; 24 + 12 + 20 ;=; 56
Pela relação sumdeg(v)=2E, temos
2E = 56 Longrightarrow E = 28

Passo 3

Com V=14 e E=28, aplicamos a fórmula de Euler para obter F:
V - E + F = 2 Longrightarrow 14 - 28 + F = 2 Longrightarrow F = 2 + 28 - 14 = 16

Resposta

O poliedro tem 16 faces.

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