Dada a matriz de um operador linear determinar todos os subespaços invariantes desse operador.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a matriz A = 1 & -1 0 & 1 que representa um operador linear. Nosso objetivo é encontrar todos os subespaços invariantes desse operador. Para isso, vamos precisar entender o que são subespaços invariantes e como identificar quais deles permanecem “estáveis” sob a ação de A .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço invariante. Um subespaço W é invariante por A se, ao aplicar A em qualquer vetor de W , o resultado ainda estiver em W . Symbolicamente, isso é escrito como A(W) subseteq W .
Passo 3
Agora, como estamos trabalhando com uma matriz 2x2, os subespaços candidatos são:
O subespaço trivial 0 .
O espaço todo R^2 .
As retas que passam pela origem (subespaços de dimensão 1).
Vamos analisar cada um desses casos.
Passo 4
O subespaço trivial 0 e o espaço todo R^2 são invariantes por qualquer operador linear. Então, já temos dois subespaços invariantes.
Passo 5
Agora, vamos procurar as retas (subespaços de dimensão 1) que são invariantes por A . Para isso, consideramos uma reta qualquer que passa pela origem, que pode ser descrita pela equação y = m x , onde m é a inclinação.
Passo 6
Para a reta y = m x ser invariante por A , ao aplicarmos A em um vetor x y , o resultado deve pertencer à mesma reta. Ou seja:
A x y = 1 & -1 0 & 1 x y = x - y y
Esse vetor resultante deve satisfazer y' = m x' , onde y' = y e x' = x - y .
Passo 7
Então, temos:
y = m (x - y)
Vamos resolver essa equação para encontrar m :
y = m x - m y y + m y = m x y (1 + m) = m x
Dividindo ambos os lados por x (assumindo x neq 0 ):
yx (1 + m) = m m (1 + m) = m
Simplificando:
m + m^2 = m m^2 = 0 m = 0
Passo 8
Encontramos que m = 0 . Isso significa que a única reta que é invariante por A é a reta y = 0 , ou seja, o eixo x .
Resposta
Os subespaços invariantes do operador linear representado pela matriz A são: