Determine o polinômio característico para a matriz
A=(llll 1 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 1 1 & 1 & 1 & 1 )

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o polinômio característico da matriz A , que é uma matriz 4x4. O polinômio característico é uma ferramenta importante na álgebra linear que nos ajuda a encontrar os valores próprios (autovalores) da matriz. Para resolver isso, vamos precisar da definição do polinômio característico e de como calcular o determinante de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, o polinômio característico de uma matriz A é dado por p(lambda) = det(A - lambda I) , onde lambda é um escalar e I é a matriz identidade do mesmo tamanho que A . Então, nosso objetivo é montar a matriz A - lambda I e calcular o determinante dela.

Passo 3

Vamos escrever a matriz identidade I de ordem 4:
I = 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1
Agora, multiplicamos I por lambda :
lambda I = lambda & 0 & 0 & 0 0 & lambda & 0 & 0 0 & 0 & lambda & 0 0 & 0 & 0 & lambda

Passo 4

Subtraindo lambda I da matriz A :
A - lambda I = 1 - lambda & 0 & 0 & 1 0 & 1 - lambda & 0 & 1 0 & 0 & 1 - lambda & 1 1 & 1 & 1 & 1 - lambda

Passo 5

Agora, precisamos calcular o determinante de A - lambda I . Para uma matriz 4x4, podemos expandir o determinante usando a regra de Sarrus ou co-fatores. Vamos usar a expansão por co-fatores na primeira linha para facilitar.

Passo 6

Calculando o determinante:
det(A - lambda I) = (1 - lambda) cdot det 1 - lambda & 0 & 1 0 & 1 - lambda & 1 1 & 1 & 1 - lambda - 0 + 0 + (-1) cdot det 0 & 1 - lambda & 0 0 & 0 & 1 - lambda 1 & 1 & 1

Passo 7

Calculando os determinantes menores:
Primeiro menor:
det 1 - lambda & 0 & 1 0 & 1 - lambda & 1 1 & 1 & 1 - lambda = (1 - lambda)[(1 - lambda)(1 - lambda) - 1 cdot 1] - 0 + 1[0 cdot 1 - (1 - lambda) cdot 1]
Simplificando:
= (1 - lambda)[(1 - lambda)^2 - 1] + [ - (1 - lambda)] = (1 - lambda)(-2lambda + lambda^2) - (1 - lambda) = (-2lambda + lambda^2)(1 - lambda) - (1 - lambda) = -lambda^3 + 3lambda^2 - lambda -1
Segundo menor:
det 0 & 1 - lambda & 0 0 & 0 & 1 - lambda 1 & 1 & 1
Esse determinante pode ser calculado expandindo pela primeira coluna:
0 - (1 - lambda) cdot det 0 & 1 - lambda 1 & 1 + 0 = - (1 - lambda)(0 cdot 1 - (1 - lambda) cdot 1) = (1 - lambda)^2

Passo 8

Substituindo os valores dos menores no determinante principal:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)( -lambda^3 + 3lambda^2 - lambda -1 ) - (1 - lambda)^2 = lambda^4 - 4lambda^3 + 3lambda^2 -1

Resposta

O polinômio característico da matriz A é p(lambda) = lambda^4 - 4lambda^3 + 3lambda^2 -1 .

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