Dada a matriz A=[cccc1 & 5 & -1 & 3 -1 & 2 & -2 & 4 6 & 7 & 3 & -1 5 & 3 & 0 & 4], determine:
det(3 A A^T).

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = 1 & 5 & -1 & 3 -1 & 2 & -2 & 4 6 & 7 & 3 & -1 5 & 3 & 0 & 4
e pede det(3AA^T). Vamos usar as propriedades de determinante:
  1. Para matriz ntimes n, det(kM)=k^ndet(M).
  2. det(A^T)=det(A).
  3. det(AB)=det(A),det(B).

Passo 2

Aplicando essas propriedades, como A é 4times4:
det(3AA^T) = detl(3,Icdot AA^Tr) =3^4det(AA^T) =3^4det(A)det(A^T) =3^4(det A)^2 =81(det A)^2

Passo 3

Calculemos det A por eliminação de Gauss até obter um menor 3times3. Após usar operações elementares sem trocar linhas, chegamos a
A;to; 1 & 5 & -1 & 3 0 & 7 & -3 & 7 0 & -23 & 9 & -19 0 & -22 & 5 & -11
e o menor
B= 7 & -3 & 7 -23 & 9 & -19 -22 & 5 & -11
Calculando
det B =7det9&-195&-11 -(-3)det-23&-19-22&-11 +7det-23&9-22&5 =58
Portanto det A=58.

Passo 4

Substituindo em det(3AA^T)=81(det A)^2, obtemos
det(3AA^T)=81cdot 58^2=272484

Resposta

272484

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