Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra exemplo.
( ) Se A é uma matriz quadrada tal que A^4=0, então
(I-A)^-1=I+A+A^2+A^3

Passo 1

O enunciado pergunta se, para toda matriz quadrada A satisfazendo A^4=0, vale sempre a fórmula da série geométrica finita
(I - A)^-1 ;=; I + A + A^2 + A^3
O conteúdo aqui é o cálculo de inversa de I-A usando a expansão em série geométrica, truncada pela nilpotência de A.

Passo 2

Vamos verificar que a matriz B = I + A + A^2 + A^3 é de fato a inversa de I - A. Para isso calculamos o produto
(I - A),B = (I - A),(I + A + A^2 + A^3)
e expandimos:
(I - A),(I + A + A^2 + A^3) &= I + A + A^2 + A^3 &- l(A + A^2 + A^3 + A^4r) &= I ;+;l(A - Ar);+;l(A^2-A^2r);+;l(A^3-A^3r);-;A^4 &= I ;-;A^4

Passo 3

Como A^4=0 por hipótese, o resultado acima fica
(I - A),B = I - 0 = I
Analogamente, B,(I - A)=I. Portanto B é a inversa de I-A.

Resposta

A afirmação é sempre verdadeira.

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