Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra exemplo.
( ) Se
é uma matriz quadrada tal que
, então
( ) Se
Passo 1
O enunciado pergunta se, para toda matriz quadrada
satisfazendo
, vale sempre a fórmula da série geométrica finita
O conteúdo aqui é o cálculo de inversa de
usando a expansão em série geométrica, truncada pela nilpotência de
.
Passo 2
Vamos verificar que a matriz
é de fato a inversa de
. Para isso calculamos o produto
e expandimos:
Passo 3
Como
por hipótese, o resultado acima fica
Analogamente,
. Portanto
é a inversa de
.
Resposta
A afirmação é sempre verdadeira.