Determine todas as classes laterais à esquerda determinadas por H em S3, onde
H=alpha in S3 mid alpha(2)=2

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos todas as classes laterais à esquerda de
H = alphain S3mid alpha(2)=2
no grupo simétrico S3. O conteúdo principal é teoria de grupos finitos e cosets (classes laterais).

Passo 2

Vamos primeiro determinar H. Um alphain S3 fixa 2 se e somente se alpha(2)=2, mas pode permutar livremente 1 e 3. Logo
H = ,id,;(1;3),

Passo 3

O índice de H em S3 é
[S3:H] = |S3||H| = 62 = 3,
ou seja, existem exatamente 3 classes laterais à esquerda. Em geral, para cada ain S3 temos
aH = ,acirc h : hin H,
e (acirc h)(2)=a(h(2))=a(2). Logo cada classe lateral é o conjunto de permutações que enviam 2 para um mesmo valor em 1,2,3.

Passo 4

A classe lateral com a(2)=2 é simplesmente
id,H = H = id,;(1;3)

Passo 5

Para a imagem 2mapsto1, escolhemos a=(1;2). Então
(1;2)H = , (1;2),,;(1;2)circ(1;3)
Calculando
(1;2)circ(1;3) = (1;3;2),
logo
(1;2)H = , (1;2),;(1;3;2)

Passo 6

Para a imagem 2mapsto3, escolhemos a=(2;3). Então
(2;3)H = , (2;3),,;(2;3)circ(1;3)
Calculando
(2;3)circ(1;3) = (1;2;3),
logo
(2;3)H = , (2;3),;(1;2;3)

Resposta

As três classes laterais à esquerda de H em S3 são:
H = id,;(1;3),
(1;2)H = , (1;2),;(1;3;2),
(2;3)H = , (2;3),;(1;2;3)

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