Determine todas as classes laterais à esquerda determinadas por
em
, onde
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos todas as classes laterais à esquerda de
no grupo simétrico
. O conteúdo principal é teoria de grupos finitos e cosets (classes laterais).
Passo 2
Vamos primeiro determinar
. Um
fixa 2 se e somente se
, mas pode permutar livremente 1 e 3. Logo
Passo 3
O índice de
em
é
ou seja, existem exatamente 3 classes laterais à esquerda. Em geral, para cada
temos
e
. Logo cada classe lateral é o conjunto de permutações que enviam 2 para um mesmo valor em
.
Passo 4
A classe lateral com
é simplesmente
Passo 5
Para a imagem
, escolhemos
. Então
Calculando
logo
Passo 6
Para a imagem
, escolhemos
. Então
Calculando
logo
Resposta
As três classes laterais à esquerda de
em
são: