Dada a matriz A=[lll0 & 3 & 0 3 & 0 & 4 0 & 4 & 0], determine:
(c) Todos os autovetores de A.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 0 & 3 & 0 3 & 0 & 4 0 & 4 & 0
e pede todos os autovetores. Vamos usar o método padrão de autovalores e autovetores: primeiro obtém-se os autovalores resolvendo o polinômio característico det(A - lambda I)=0 e depois, para cada lambda, resolver o sistema (A - lambda I)v=0 para encontrar os autovetores.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico:
det(A - lambda I) =det -lambda & 3 & 0 3 & -lambda & 4 0 & 4 & -lambda =-lambda(lambda^2-16)+9lambda =-lambda^3+16lambda+9lambda =-lambda(lambda^2-25)
Logo
-lambda(lambda-5)(lambda+5)=0
e os autovalores são
lambda1=5, lambda2=-5 e lambda3=0.

Passo 3

Para , resolvemos
Da primeira equação vem .
Na segunda,
A terceira só confirma essa relação.
Portanto os autovetores são múltiplos de
e, para evitar frações, escolhemos
]

Passo 4

Para , resolvemos
Da primeira equação vem .
Na segunda, leva a
Assim os autovetores são múltiplos de
escolhendo obtemos
]

Passo 5

Para , resolvemos
Da primeira equação vem .
Da segunda .
A terceira já está satisfeita.
Tomando , obtemos o autovetor

Resposta

Os autovetores de A são, a menos de fator escalar,
lambda=5: (3,,5,,4)^T,
lambda=-5: (3,,-5,,4)^T,
lambda=0: (-4,,0,,3)^T

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