Dada a matriz A=[lll0 & 3 & 0 3 & 0 & 4 0 & 4 & 0], determine:
(a) O polinômio característico de A

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = 0 & 3 & 0 3 & 0 & 4 0 & 4 & 0
e pede o polinômio característico de A. O conteúdo é cálculo de determinante de A - lambda I para obter p(lambda)=det(A-lambda I).

Passo 2

Escrevemos
A-lambda I = -lambda & 3 & 0 3 & -lambda & 4 0 & 4 & -lambda
e calculamos o determinante por expansão na primeira linha.

Passo 3

Ao expandir em cofatores pela primeira linha:
det(A-lambda I) = (-lambda)det-lambda & 4 4 & -lambda -3det3 & 4 0 & -lambda +0cdot(cdots)
Agora,
det-lambda & 4 4 & -lambda =lambda^2-16, det3 & 4 0 & -lambda =3cdot(-lambda)= -3lambda
Substituindo,
det(A-lambda I) = -lambda(lambda^2-16) -3(-3lambda) = -lambda^3 +16lambda +9lambda = -lambda^3 +25lambda

Passo 4

Podemos escrever o polinômio de forma monica ou fatorada. Multiplicando por -1 obtemos a versão usual
p(lambda)=lambda^3-25lambda =lambda(lambda^2-25) =lambda(lambda-5)(lambda+5)

Resposta

p(lambda)=det(A-lambda I)=-lambda^3+25lambda,
ou, na forma monica,
p(lambda)=lambda^3-25lambda=lambda(lambda-5)(lambda+5)

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