Sejam v1, v2, v3 vetores obtidos a partir da aplicação do processo de ortogonalização de Gram-Schmidt ao conjunto de vetores u1, u2, u3. Dessa forma temos que,
v3=u3-lang<= u3, v2rang<=lang<= v2, v2rang<= v2-lang<= u3, v1rang<=lang<= v1, v1rang<= v1
Calcule o produto interno entre v3 e v1 para mostrar que esses vetores são de fato ortogonais.

Passo 1

O enunciado apresenta o vetor
v3=u3-lang<= u3,,v2rang<=lang<= v2,,v2rang<=v2 -lang<= u3,,v1rang<=lang<= v1,,v1rang<=v1,
obtido pelo processo de Gram–Schmidt a partir de u1,u2,u3. Queremos mostrar que lang<= v3,,v1rang<==0, isto é, v3 é ortogonal a v1. Usaremos as propriedades bilineares do produto interno e o fato de que lang<= v2,v1rang<==0.

Passo 2

Escrevemos a definição do produto interno de v3 com v1, usando linearidade em cada termo:
lang<= v3,,v1rang<= =lang<= u3,,v1rang<= -lang<= u3,,v2rang<=lang<= v2,,v2rang<=,lang<= v2,,v1rang<= -lang<= u3,,v1rang<=lang<= v1,,v1rang<=,lang<= v1,,v1rang<=

Passo 3

Observamos que, pelo próprio Gram–Schmidt, já temos lang<= v2,,v1rang<==0. Substituindo isso na expressão:
lang<= v3,,v1rang<= =lang<= u3,,v1rang<= -0 -lang<= u3,,v1rang<=lang<= v1,,v1rang<=,lang<= v1,,v1rang<=

Passo 4

No último termo, o fator lang<= v1,,v1rang<= no numerador e denominador se cancelam, ficando exatamente lang<= u3,v1rang<=. Logo
lang<= v3,,v1rang<= =lang<= u3,,v1rang<= -lang<= u3,,v1rang<= =0

Resposta

lang<= v3,,v1rang<==0, portanto v3 é ortogonal a v1.

Exercícios relacionados