Sejam
vetores obtidos a partir da aplicação do processo de ortogonalização de Gram-Schmidt ao conjunto de vetores
. Dessa forma temos que,
Calcule o produto interno entre
e
para mostrar que esses vetores são de fato ortogonais.
Passo 1
O enunciado apresenta o vetor
obtido pelo processo de Gram–Schmidt a partir de
. Queremos mostrar que
, isto é,
é ortogonal a
. Usaremos as propriedades bilineares do produto interno e o fato de que
.
Passo 2
Escrevemos a definição do produto interno de
com
, usando linearidade em cada termo:
Passo 3
Observamos que, pelo próprio Gram–Schmidt, já temos
. Substituindo isso na expressão:
Passo 4
No último termo, o fator
no numerador e denominador se cancelam, ficando exatamente
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