Dada a matriz A=[lll0 & 3 & 0 3 & 0 & 4 0 & 4 & 0], determine:
(d) Uma matriz P ortogonal tal que P^-1 A P seja uma matriz diagonal, se existir.

Passo 1

O enunciado pede uma matriz ortogonal P tal que P^-1AP seja diagonal, onde
A= 0 & 3 & 0 3 & 0 & 4 0 & 4 & 0
Como A é simétrica, pelo Teorema espectral ela admite diagonalização ortogonal. Precisamos:
1. Encontrar os autovalores de A.
2. Para cada autovalor, achar um autovetor.
3. Normalizar e ortogonalizar esses autovetores para obter uma base ortonormal.
4. Montar P com esses vetores como colunas, de modo que P^-1=P^T e P^TAP seja diagonal.

Passo 2

Calculemos o polinômio característico de A:
det(A-lambda I) =det -lambda & 3 & 0 3 & -lambda & 4 0 & 4 & -lambda =-lambdal(lambda^2-16r)+9lambda =-lambda^3+25lambda =-lambda(lambda^2-25)
Logo os autovalores são
lambda1=5, lambda2=0, lambda3=-5

Passo 3

Para
Da primeira: . Tomando obtemos o autovetor

Passo 4

Para
Da primeira: . Escolhendo obtemos

Passo 5

Para
Da primeira e da terceira vem . Tomando

Passo 6

Normalizamos os vetores:
|v1|=raiz9+25+16=5raiz2, |v3|=5raiz2, |v2|=raiz16+0+9=5
Então definimos os vetores unitários
u1=15raiz2(3,5,4), u2=15(4,0,-3), u3=15raiz2(3,-5,4)
Eles são mutuamente ortogonais e formam uma base ortonormal.

Passo 7

Montamos P com colunas u1,u2,u3, correspondendo respectivamente aos autovalores 5,0,-5:
P= 35raiz2 & 45 & 35raiz2[0.7em] 55raiz2 & 0 & -55raiz2[0.7em] 45raiz2 & -35 & 45raiz2 = 35raiz2 & 45 & 35raiz2[0.7em] 1raiz2 & 0 & -1raiz2[0.7em] 45raiz2 & -35 & 45raiz2
Por construção, P é ortogonal ( P^-1=P^T) e
P^TAP=diag(5,,0,,-5)
]

Resposta

Um possível P ortogonal é
P= 35raiz2 & 45 & 35raiz2[0.7em] 1raiz2 & 0 & -1raiz2[0.7em] 45raiz2 & -35 & 45raiz2 ,
pois então
P^-1AP=P^TAP=5&0&00&0&00&0&-5
]

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