Dada a matriz A=[cccc1 & 5 & -1 & 3 -1 & 2 & -2 & 4 6 & 7 & 3 & -1 5 & 3 & 0 & 4], determine:
det A^T;

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & 5 & -1 & 3 -1 & 2 & -2 & 4 6 & 7 & 3 & -1 5 & 3 & 0 & 4
e pede det(A^T). O conteúdo principal é a propriedade
det(A^T)=det(A),
portanto basta calcular det(A).

Passo 2

Para calcular
Isso zera a primeira coluna em .

Passo 3

Após essas operações, a matriz fica
1 & 5 & -1 & 3 0 & 7 & -3 & 7 0 & -23 & 9 & -19 0 & -22 & 5 & -11
Como só há 1 na posição (1,1) na primeira coluna, temos
det(A) =1 ,times, det 7 & -3 & 7 -23 & 9 & -19 -22 & 5 & -11
Denotemos essa submatriz por M.

Passo 4

Para det(M) usamos a expansão de Laplace pela primeira linha:
det(M) =7det!9&-195&-11 -(-3)det!-23&-19-22&-11 +7det!-23&9-22&5
Calculando cada menor:
det9&-195&-11 =9cdot(-11)-(-19)cdot5=-99+95=-4,
det-23&-19-22&-11 =(-23)(-11)-(-19)(-22)=253-418=-165,
det-23&9-22&5 =(-23)cdot5-9cdot(-22)=-115+198=83
Logo
det(M)=7cdot(-4)-(-3)cdot(-165)+7cdot83=-28-495+581=58

Passo 5

Portanto
det(A)=58 e det(A^T)=det(A)=58

Resposta

58

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