Seja beta=e1, e2, e3 a base canônica do R^3. Se F é um operador linear do R^3 tal que F(e1)=e2, F(e2)=e3 e F(e3)=e1.
Determine F(x, y, z);

Passo 1

O enunciado dá um operador linear Fcolon R^3 to R^3 definido na base canônica beta=e1,e2,e3 por
F(e1)=e2, F(e2)=e3 e F(e3)=e1. O conteúdo aqui é operador linear e usaremos a propriedade de linearidade para achar F(x,y,z).

Passo 2

Qualquer vetor (x,y,z)inR^3 se escreve na base canônica como
(x,y,z) = x,e1 + y,e2 + z,e3

Passo 3

Aplicando F e usando linearidade, temos
F(x,y,z) = Fl(x,e1 + y,e2 + z,e3r) = x,F(e1) + y,F(e2) + z,F(e3)

Passo 4

Substituindo as imagens dos vetores da base,
F(x,y,z) = x,e2 + y,e3 + z,e1

Passo 5

Reescrevendo esse resultado na forma de coordenadas na base canônica, obtemos
F(x,y,z) = z,e1 + x,e2 + y,e3 = (,z,;x,;y,)

Resposta

F(x,y,z) = (z,x,y).

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