Dadas as matrizes A=[cccc1 & -5 & -1 & 2 0 & 2 & -3 & 4 0 & 0 & 4 & -2 0 & 0 & 0 & 3] e B=[cccc-3 & 0 & 0 & 0 3 & -4 & 0 & 0 2 & 2 & -1 & 0 2 & 1 & 1 & -2], determine:
det(C), onde C A^T=2 B C^2.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes triangulares A e B em R^4times4 e define uma matriz incógnita C satisfazendo
C,A^T ;=; 2,B,C^2
Queremos encontrar det(C). Para isso vamos usar propriedades de determinantes e o fato de A e B serem triangulares.

Passo 2

Relembrando as propriedades de determinantes para matrizes quadradas de ordem n=4:
det(XY)=det(X),det(Y), det(A^T)=det(A), det(kX)=k^n,det(X)(para escalar k)

Passo 3

Aplicando det aos dois lados de C,A^T=2,B,C^2, temos
det(C,A^T) =detl(2,B,C^2r)
Pelo produto e pela transposição,
det(C),det(A^T) =det(2,B),det(C^2) Longrightarrow det(C),det(A) =2^4,det(B),l(det(C)r)^2

Passo 4

Como A e B são triangulares, seus determinantes são produtos das diagonais:
det(A)=1cdot2cdot4cdot3=24, det(B)=(-3)cdot(-4)cdot(-1)cdot(-2)=24

Passo 5

Substituindo em det(C),24 = 16cdot24cdot(det(C))^2, divide-se por 24:
det(C) =16,(det(C))^2 Longrightarrow 16,(det(C))^2-det(C)=0 Longrightarrow det(C),l(16,det(C)-1r)=0
Descartando a solução trivial det(C)=0 (matriz nula), chega-se a
det(C)=116

Resposta

det(C)=tfrac116.

Exercícios relacionados