Dada a matriz A=[cccc1 & 5 & -1 & 3 -1 & 2 & -2 & 4 6 & 7 & 3 & -1 5 & 3 & 0 & 4], determine:
det(A^2);

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & 5 & -1 & 3 -1 & 2 & -2 & 4 6 & 7 & 3 & -1 5 & 3 & 0 & 4
e pede det(A^2). O conteúdo é a propriedade de determinante de produto de matrizes e o cálculo de determinante de uma matriz 4times4.

Passo 2

Usamos a propriedade
det(A^2)=det(A),det(A)=l(det(A)r)^2
Logo basta achar det(A). Para isso aplicamos operações elementares que não alteram o determinante:
R2to R2 + R1, R3to R3 - 6,R1, R4to R4 - 5,R1
Fica a matriz
1 & 5 & -1 & 3 0 & 7 & -3 & 7 0 & -23 & 9 & -19 0 & -22 & 5 & -11
Logo
det(A) =1;detl(Br), B = 7 & -3 & 7 -23 & 9 & -19 -22 & 5 & -11

Passo 3

Calculamos det(B) expandindo pela primeira linha:
det(B) =7det!9 & -195 & -11 -(-3)det!-23 & -19-22 & -11 +7det!-23 & 9-22 & 5
Agora
det!9 & -195 & -11 =9(-11)-(-19cdot5)=-99+95=-4,
det!-23 & -19-22 & -11 =(-23)(-11)-(-19)(-22)=253-418=-165,
det!-23 & 9-22 & 5 =(-23)cdot5-9(-22)=-115+198=83
Substituindo,
det(B)=7cdot(-4)+3cdot(-165)+7cdot83 =-28-495+581=58
Portanto det(A)=58.

Passo 4

Finalmente,
det(A^2)=l(det(A)r)^2 =58^2=3364

Resposta

3364

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