Defina T: wp(2) R^2 por T(p)=(p(0), p(1)). Por exemplo, se p(t)=3+5 t+7 t^2, então T(p)=(3,15).
Mostre que T é uma transformação linear;

Passo 1

O enunciado define a aplicação
Tcolon wp(2)to R^2, T(p) = l(p(0),,p(1)r),
onde wp(2) é o espaço dos polinômios de grau no máximo 2. O objetivo é mostrar que T é linear, ou seja, verificar duas propriedades:
  1. aditividade: T(p+q)=T(p)+T(q);
  2. homogeneidade: T(c,p)=c,T(p).

Passo 2

Aditividade. Sejam p e q polinômios em wp(2). Então
T(p+q) = l((p+q)(0),,(p+q)(1)r) = l(p(0)+q(0),,p(1)+q(1)r)
Mas isso é exatamente
l(p(0),,p(1)r) + l(q(0),,q(1)r) = T(p) + T(q)

Passo 3

Homogeneidade. Seja cinR e pinwp(2). Então
T(c,p) = l((c,p)(0),,(c,p)(1)r) = l(c,p(0),,c,p(1)r) = c;l(p(0),,p(1)r) = c,T(p)

Passo 4

Como T satisfaz aditividade e homogeneidade para todo par de polinômios p,q e todo escalar c, concluímos que T é uma transformação linear.

Resposta

T é linear.

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