Suponha que u e v são vetores unitários de um espaço vetorial V com produtor interno e k um número real. Calcule o valor de k para que se tenha |k u+v|= 13 e |k u-v|=7.

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores unitários u,v num espaço com produto interno e pede um real k tal que
|k,u + v| = 13, |k,u - v| = 7
Para resolver, vamos usar a identidade
|w|^2 = lang<= w,wrang<=
e expandir cada norma em função de lang<= u,vrang<=.

Passo 2

Escrevendo o quadrado das normas, com alpha = lang<= u,vrang<= e |u|=|v|=1, temos
|k,u+v|^2 = lang<= k,u+v,,k,u+vrang<= = k^2|u|^2 + 2k,alpha + |v|^2 = k^2 + 2kalpha + 1
Como |k,u+v|=13, isto dá
k^2 + 2kalpha + 1 = 169

Passo 3

De modo análogo,
|k,u - v|^2 = k^2 - 2kalpha + 1,
e como |k,u - v|=7 obtemos
k^2 - 2kalpha + 1 = 49

Passo 4

Somando as duas equações:
(k^2 + 2kalpha + 1) + (k^2 - 2kalpha + 1) = 169 + 49 Longrightarrow 2k^2 + 2 = 218 Longrightarrow k^2 = 108,
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k = pm 6raiz3
Subtraindo a segunda da primeira:
4kalpha = 169 - 49 = 120 Longrightarrow alpha = 30k = pm 306raiz3 = pm 5raiz33

Passo 5

Porém, pelo Desigualdade de Cauchy–Schwarz, |alpha|<=1. Mas
l|tfrac5raiz33r| approx 2,89 > 1,
logo não existe par de vetores unitários u,v que atenda às duas condições.

Resposta

Não há valor real de k que satisfaça simultaneamente |k,u+v|=13 e |k,u-v|=7 para vetores unitários u,v.

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