Suponha que
e
são vetores unitários de um espaço vetorial
com produtor interno e
um número real. Calcule o valor de
para que se tenha
13 e
.
Passo 1
O enunciado nos dá dois vetores unitários
num espaço com produto interno e pede um real
tal que
Para resolver, vamos usar a identidade
e expandir cada norma em função de
.
Passo 2
Escrevendo o quadrado das normas, com
e
, temos
Como
, isto dá
Passo 3
De modo análogo,
e como
obtemos
Passo 4
Somando as duas equações:
logo
Subtraindo a segunda da primeira:
Passo 5
Porém, pelo Desigualdade de Cauchy–Schwarz,
. Mas
logo não existe par de vetores unitários
u,v que atenda às duas condições.
Resposta
Não há valor real de
k que satisfaça simultaneamente
|k,u+v|=13 e
|k,u-v|=7 para vetores unitários
u,v .