Dada a matriz A==(ccc5 & 2 & 1 -6 & -2 & -2 -4 & -2 & 0), determine a diagonalização da mesma.

Passo 1

O enunciado pede a diagonalização da matriz
A = 5 & 2 & 1 -6 & -2 & -2 -4 & -2 & 0
ou seja, encontrar uma inversível P e uma diagonal D tais que
A = P,D,P^-1
O conteúdo principal é cálculo de autovalores (valores próprios) e autovetores (vetores próprios).

Passo 2

Calculamos o polinômio característico det(A - lambda I).
A - lambda I = 5-lambda & 2 & 1 -6 & -2-lambda & -2 -4 & -2 & -lambda
Expandindo o determinante chega-se a
det(A - lambda I) = -lambda(lambda-1)(lambda-2)
Logo os autovalores são
lambda1 = 0, lambda2 = 1, lambda3 = 2

Passo 3

Para cada [\lambda_i) resolvemos :
  1. :
  1. (\lambda_2=1]:
  2. :

Passo 4

Formamos a matriz P com esses autovetores como colunas, e montamos D com os autovalores na diagonal, na mesma ordem:
P = 1 & 1 & 1 -2 & -2 & -1 -1 & 0 & -1 , D = 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 2
Como os autovalores são distintos, P é inversível e
A = P,D,P^-1

Resposta

boxed A = P,D,P^-1, P = 1 & 1 & 1 -2 & -2 & -1 -1 & 0 & -1 , D = 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 2

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