Verifique se a matriz (ll1 & 1 0 & 1) é diagonizável.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = 1 & 1 [6pt] 0 & 1
é diagonalizável.
O conteúdo é diagonalização de matrizes: precisamos achar valores próprios (autovalores) e a dimensão do espaço próprio (autovetores) e comparar a multiplicidade algébrica com a multiplicidade geométrica.]

Passo 2

Calcular o polinômio característico de A, que é
chiA(lambda) = detl(A - lambda Ir) = det1-lambda & 1 [4pt] 0 & 1-lambda = (1-lambda)^2
]

Passo 3

Do polinômio chiA(lambda)=(1-lambda)^2 vemos que há um único autovalor
lambda = 1
com multiplicidade algébrica igual a 2.

Passo 4

Agora encontramos o espaço próprio para lambda=1 resolvendo
(A - I)x = 0 Longrightarrow 0 & 1 [4pt] 0 & 0 x1 x2 = 00
Isso impõe x2=0 e deixa x1 livre. Logo o espaço próprio é
E1 = l(x1,0)mid x1inRr,
cuja dimensão (multiplicidade geométrica) é 1.]

Passo 5

Para ser diagonalizável, a soma das dimensões dos espaços próprios deve ser 2 (a ordem da matriz). Aqui a multiplicidade algébrica de 1 é 2, mas a geométrica é só 1. Como
mu< >=ométrica<mu< algébrica, éé
não há base de R^2 formada por autovetores.

Resposta

A matriz não é diagonalizável.

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