Dadas as bases alpha=(1,1,1),(0,1,0),(0,1,1) de R^3 e beta=(1,2),(0,1) de R^2, ache a transformação linear T: R^3 R^2 tal que
[T]beta^alpha=[rrr 1 & 0 & 2 -1 & -1 & 1 ]

Passo 1

O enunciado pede a transformação linear TcolonR^3toR^2 cuja matriz de representação relativa à base alpha=v1,v2,v3 de R^3 e à base beta=w1,w2 de R^2 é
[T]beta^alpha = 1 & 0 & 2 -1 & -1 & 1
Para resolver, precisamos (1) calcular T(vi) em coordenadas canônicas de R^2, (2) expressar um vetor genérico (x,y,z) em coordenadas da base alpha e (3) usar linearidade para obter T(x,y,z).

Passo 2

As colunas da matriz [T]beta^alpha são as coordenadas de T(vi) na base beta. Assim,
T(v1)=1,w1+(-1),w2,
T(v2)=0,w1+(-1),w2 e
T(v3)=2,w1+1,w2.

Passo 3

Convertendo esses vetores para a base canônica de R^2, onde w1=(1,2) e w2=(0,1), temos
T(v1)=(1,2)+(-1)(0,1)=(1,1),
T(v2)=(-1)(0,1)=(0,-1),
T(v3)=2(1,2)+1(0,1)=(2,4)+(0,1)=(2,5)

Passo 4

Para um vetor genérico (x,y,z)inR^3, escrevemos
(x,y,z)=a,(1,1,1)+b,(0,1,0)+c,(0,1,1)
Isso gera o sistema
a=x, a+b+c=y, a+c=z
Daí
a=x, c=z-x, b=y-a-c=y-z

Passo 5

Pela linearidade de T,
T(x,y,z) =a,T(v1)+b,T(v2)+c,T(v3)
Substituindo a, b, c e os T(vi):
T(x,y,z) =x,(1,1)+(y-z),(0,-1)+(z-x),(2,5)
Somando componente a componente:
1ª comp = x + 0 + 2(z-x)=2z-x, ª
2ª comp = x - (y-z)+5(z-x)=-4x-y+6z ª

Resposta

Portanto, em coordenadas canônicas,
T(x,y,z)=l(2z - x,,-4x - y + 6zr)

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