Seja T: R^2 R^2 um operador linear definido por T(x, y)=(x, 4 x-2 y), verifique se T é diagonizável.

Passo 1

O enunciado define um operador linear Tcolon R^2toR^2 por
T(x,y) = (x,;4x - 2y)
O conteúdo aqui é verificar se T é diagonalizável, o que passa por escrever sua matriz na base canônica, achar autovalores e autovetores e checar se formam base de R^2.

Passo 2

Na base canônica e1,e2, temos
T(e1)=T(1,0)=(1,4), T(e2)=T(0,1)=(0,-2),
logo a matriz de T é
A = 1 - lambda & 0 [6pt] 4 & -2 - lambda ]

Passo 3

Calculamos o polinômio característico
det(A - lambda I) = det1-lambda & 0 [3pt] 4 & -2-lambda = (1-lambda)(-2-lambda) =0
Dessa equação obtemos os autovalores
lambda1 = 1 e lambda2 = -2, que são distintos em R.]

Passo 4

Para cada [\lambda) achamos um autovetor não nulo:
. :
leva ao sistema
Podemos escolher , ou seja, um autovetor é .
. :
Tomando .
Os vetores e são independentes e formam base de .

Passo 5

Como existem dois autovalores distintos e o espaço possui dois autovetores linearmente independentes, conclui-se que T é diagonalizável.

Resposta

Sim, T é diagonalizável.

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