Seja um operador linear definido por , verifique se é diagonizável.
Passo 1
O enunciado define um operador linear por
O conteúdo aqui é verificar se é diagonalizável, o que passa por escrever sua matriz na base canônica, achar autovalores e autovetores e checar se formam base de .
Passo 2
Na base canônica , temos
logo a matriz de é
]
Passo 3
Calculamos o polinômio característico
Dessa equação obtemos os autovalores e , que são distintos em .]
Passo 4
Para cada [\lambda) achamos um autovetor não nulo:
. : leva ao sistema
Podemos escolher , ou seja, um autovetor é .
. : dá
Tomando .
Os vetores e são independentes e formam base de .
Passo 5
Como existem dois autovalores distintos e o espaço possui dois autovetores linearmente independentes, conclui-se que T é diagonalizável.