Seja a matriz A=(cc1 & 0 1 & -2), verifique se é diagonizável, se sim qual a forma diagonal?

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = 1 & 0 1 & -2
e pede para verificar se ela é diagonalizável e, em caso afirmativo, obter sua forma diagonal. Para isso vamos usar o conteúdo de diagonalização de matrizes, que consiste em calcular valores próprios (autovalores) e vetores próprios (autovetores) e verificar se há autovetores suficientes para formar uma base.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
det(A - lambda I) = det1-lambda & 0 [6pt]1 & -2-lambda = (1-lambda)(-2-lambda) - 0 = -(1-lambda)(2+lambda)
As raízes são
lambda1 = 1, lambda2 = -2
]

Passo 3

Agora achamos um autovetor para cada autovalor.
Para lambda1 = 1, resolvemos (A - I)v=0:
A - I = 0 & 0 [3pt]1 & -3,
da segunda linha vem x - 3y = 0, logo x = 3y. Um autovetor correspondente é
v1 = 3 [3pt]1
Para lambda2 = -2, resolvemos (A + 2I)v=0:
A + 2I = 3 & 0 [3pt]1 & 0,
de ambas as linhas vem x = 0, e y fica livre. Um autovetor é
v2 = 0 [3pt]1
Os vetores v1 e v2 são linearmente independentes, portanto há duas direções próprias e A é diagonalizável.]

Passo 4

Escolhendo a matriz de mudança de base P cujas colunas são v1 e v2:
P = 3 & 0 [3pt]1 & 1,
fica
P^-1 A ,P = 1 & 0 [3pt]0 & -2 = D
]

Resposta

A matriz A é diagonalizável e sua forma diagonal é
D = 1 & 0 [3pt]0 & -2
]

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