Dada a matriz A, determine o que se pede
det A, A=(cccc4 & -1 & 2 & -2 3 & -1 & 0 & 0 2 & 3 & 1 & 0 0 & 7 & 1 & 1)

Passo 1

O problema pede o cálculo de det A para a matriz
A = 4 & -1 & 2 & -2 3 & -1 & 0 & 0 2 & 3 & 1 & 0 0 & 7 & 1 & 1
Vamos usar a expansão de Laplace (cofatores) ao longo da quarta coluna, que tem dois zeros, o que simplifica bastante o trabalho.

Passo 2

Aplicando a expansão de Laplace ao longo da coluna 4, temos
det A = sumi=1^4 ai4 ,(-1)^,i+4,det Mi4
Como a24=0 e a34=0, só restam os termos i=1 e i=4:
det A = (-2),(-1)^1+4,det M14 ;+; 1,(-1)^4+4,det M44
Note que (-1)^1+4 = -1 e (-1)^4+4=1, logo
det A = 2;det M14 ;+;det M44

Passo 3

O menor M14 (removendo linha 1 e coluna 4) é
M14 = 3 & -1 & 0 2 & 3 & 1 0 & 7 & 1
Calculando det M14 por regra de Sarrus ou cofatores na primeira linha:
det M14 = 3,(3cdot1 - 1cdot7) -(-1),(2cdot1 - 1cdot0) +0cdot(cdots) = 3,(3 - 7) + 1cdot2 = 3cdot(-4) + 2 = -10

Passo 4

O menor M44 (removendo linha 4 e coluna 4) é
M44 = 4 & -1 & 2 3 & -1 & 0 2 & 3 & 1
Calculando det M44 pela primeira linha:
det M44 = 4,l((-1)cdot1 - 0cdot3r) -(-1),l(3cdot1 - 0cdot2r) +2,l(3cdot3 - (-1)cdot2r)
= 4cdot(-1) + 1cdot3 +2cdot(9+2) = -4 + 3 + 2cdot11 = -4 + 3 + 22 = 21

Passo 5

Substituindo det M14=-10 e det M44=21 em
det A = 2,det M14 + det M44, obtemos
det A = 2cdot(-10) + 21 = -20 + 21 = 1

Resposta

det A = 1

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